Para determinar o valor de \( k \) para que o vetor \( u = (-1, k, -7) \) seja uma combinação linear dos vetores \( v_1 = (1, -3, 2) \) e \( v_2 = (2, 4, -1) \), precisamos encontrar constantes \( a \) e \( b \) tais que: \[ u = a v_1 + b v_2 \] Isso se traduz nas seguintes equações: 1. \( a(1) + b(2) = -1 \) (equação para a primeira coordenada) 2. \( a(-3) + b(4) = k \) (equação para a segunda coordenada) 3. \( a(2) + b(-1) = -7 \) (equação para a terceira coordenada) Agora, vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação: \[ a + 2b = -1 \quad (1) \] Da terceira equação: \[ 2a - b = -7 \quad (2) \] Agora, podemos resolver as equações (1) e (2). Da equação (1), podemos expressar \( a \) em termos de \( b \): \[ a = -1 - 2b \quad (3) \] Substituindo (3) na equação (2): \[ 2(-1 - 2b) - b = -7 \] \[ -2 - 4b - b = -7 \] \[ -5b = -5 \] \[ b = 1 \] Agora, substituímos o valor de \( b \) na equação (3) para encontrar \( a \): \[ a = -1 - 2(1) = -3 \] Agora que temos \( a \) e \( b \), podemos encontrar \( k \) usando a segunda equação: \[ -3(-3) + 1(4) = k \] \[ 9 + 4 = k \] \[ k = 13 \] Portanto, o valor de \( k \) para que o vetor \( u \) seja uma combinação linear de \( v_1 \) e \( v_2 \) é \( k = 13 \).