[APOSTILA] Cálculo A

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Calculo I
Notas de Aulas
JOSEPH NEE ANYAH YARTEY
&
SIMONE SOUSA RIBEIRO
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Departamento de Matemática - DMAT
Apresentação
O presente texto constitui um resumo do conteúdo da disciplina Cál-
culo I do Curso de Licenciatura emMatemática à Distância, oferecido pela
Universidade Federal da Bahia através do sistema Universidade Aberta
do Brasil - UAB, da Diretoria de Educação à Distância da Fundação Co-
ordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES, do
Ministério da Educação - MEC.
Salvador, 15 de setembro de 2015
Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática à Distância
da Universidade Federal da Bahia
Esse material didático de autoria dos professores Joseph Nee Anyah
Yartey e Simone Sousa Ribeiro é resultado da tentativa de produzir um
material que ajuda os alunos do Curso de Licenciatura em Matemática a
Distância. São aulas que os autores vem usando no curso de Calculo A
durante varias anos de ensino da disciplina que envolve partes de livros,
listas e contribuições próprias. Observamos que o principal objetivo deste
material é apresentar o Calculo Diferencial de uma forma simples, através
de exemplos, com foco na interpretação geométrica e intuitiva. Por isto
este material não substitui a consulta, leitura e estudos de textos e livros
de Calculo já consagrados. Todos os erros são de responsabilidade dos
autores.
Joseph Nee A. Yartey - Simone Sousa Ribeiro
Salvador - Bahia
Conteúdo
1 Funções 2
1.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Revisão de funções trigonométricas . . . . . . . . . . 15
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Funções inversas e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Limite de uma função 33
2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Propriedades do Limite de uma função 47
3.1 Propriedades do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Limites envolvendo a indeterminação
0
0
. . . . . . . . . . . . 50
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Limite Infinito de uma função 55
4.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Propriedades dos limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Limite no infinito de uma função 64
5.1 Limites no infinito: assíntotas horizontais . . . . . . . . . . . 64
5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Continuidade de uma função 72
6.1 Noção de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Propriedades das funções contínuas. . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Outros Teoremas sobre Limites 86
7.1 Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1 Limite Trigonométrico Fundamental . . . . . . . . . . 89
7.2.2 Limite Exponencial Fundamental . . . . . . . . . . . . 91
7.3 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Indeterminações do Limite de uma função 96
8.1 Indeterminação no Calculo dos Limites . . . . . . . . . . . . 96
8.1.1 Limites envolvendo indeterminações do tipo∞−∞ . 96
8.1.2 Limites envolvendo indeterminações do tipo
∞
∞ . . . 98
8.1.3 Limites envolvendo indeterminações do tipo∞0 . . . 98
8.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9 Derivada de uma função 101
9.1 Como surgiu a idéia de limite e derivada:
o problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2 O problema da tangente: calculando coeficientes angulares . 102
9.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.4 A definição de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.5 Notação da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10 O Cálculo da derivada 113
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.2 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2.1 Derivada de uma constante . . . . . . . . . . . . . . . 117
5
10.2.2 Derivada de f (x) = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2.3 Derivada de uma potência: f (x) = xn . . . . . . . . . . 118
10.2.4 Derivadadoprodutodeuma funçãoporumaconstante118
10.2.5 Derivada da soma de funções . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2.6 A derivada do produto de funções . . . . . . . . . . . 120
10.2.7 A derivada do quociente de funções . . . . . . . . . . 121
10.2.8 Regra da potência com expoente inteiro negativo . . 123
10.2.9 Regra da potência com expoente racional . . . . . . . 125
10.3 Derivada das funções exponenciais ex e ax . . . . . . . . . . . 125
10.4 Derivada da função logaritmo ln x . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.5 Derivadas de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 128
10.6 Derivadas de segunda ordem e de ordens mais altas . . . . . 131
10.7 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11 Regra da cadeia 139
11.1 Revisão de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 A regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12 Derivação Implícita 149
12.1 Definição de funções dadas implicitamente . . . . . . . . . . 149
12.2 Regra de derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13 Derivada da Função Inversa 157
13.1 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
13.2 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14 Aplicações da Derivada 162
14.1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.2 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.3 Taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6
15 A Diferencial 170
15.1 A definição de diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.2 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
16 Valores extremos 175
16.1 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . 175
16.2 Crescimento e decrescimento de funções . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Máximos e mínimos: definição . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
16.4 Máximos e mínimos em intervalos fechados . . . . . . . . . . 193
16.5 Teste da segundaderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
16.6 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . 197
16.7 Demonstração dos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
16.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
17 Regras de L’Hospital 207
17.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
18 Gráficos de funções 211
18.1 Assíntotas verticais e horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . 211
18.2 Passos para a construção de um gráfico . . . . . . . . . . . . 212
18.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1
Aula 1
Funções
1.1 Conceitos fundamentais
Definição 1.1.1. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função
de A em B, denotada por f : A → B, se é uma regra de correspondência
em que cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Chamamos o conjunto A de domínio da função f e o conjunto B de contra-
domínioda função e simbolizamosporA = D( f ) eB = ConDom( f ). Se a ∈ A
e b ∈ B estão associados pela função f , escrevemos b = f (a) e dizemos que
b é a imagem de a.
Exemplo 1.1.1. Seja f a função definida por f (x) = x + 1 cujos domínio e
contra-domínio são o conjunto dos números reais. Como f (1) = 1 + 1 = 2,
podemos dizer que 2 é imagem do elemento 1 do domínio.
Observações:
• Dada a função definida por y = f (x), chamamos x de variável inde-
pendente porque pode assumir qualquer valor do domínio e chama-
mos y de variável dependente porque seu valor numérico depende
do valor de x escolhido.
• Uma função f não estará definida totalmente enquanto não souber-
mos para quais valores da variável independente x, podemos calcular
2
o valor de f (x). Desta forma, é muito importante determinarmos pri-
meiramente o domínio de uma função.
Exemplo 1.1.2. Determine o domínio das funções f (x) = x2, g(x) =
1
x2
e
h(x) =
√
25 − x2.
Definição 1.1.2 (Imagem de uma função). Seja f : A → B uma função de
A em B. Chamamos de imagem de f ao subconjunto de B :
Im( f ) = { f (x) | x ∈ A}.
Exemplo 1.1.3. Seja a função f (x) = x2 com domínio e contra-domínio o
conjunto dos reais. A imagem da função f é o conjunto de todos os reais
positivos, R+
Exercício 1.1.1. Ache odomínio e a imagemda funçãodada implicitamente
pela expressão xy2 = x − 1.
Definição 1.1.3 (Gráfico de f ). Seja f uma função de A em B. O conjunto
Gr( f ) = {(x, y), | y = f (x) ∧ x ∈ A}.
é chamado de gráfico da função f .
Exemplo 1.1.4. Desenhe o gráfico das funções f (x) = x + 1 e g(x) = |x + 1|.
Na figura 1.1, temos a função f à esquerda e a função g = | f | à direita.
Mas o que realmente se entende por gráfico de uma função? A grosso
modo, podemos dizer que o gráfico de uma função é a trajetória de um
ponto que se move no plano cartesiano. A variável independente x se
move no eixo OX da esquerda para a direita e cada valor de x determina
um valor da variável dependente y = f (x). Desta forma, o gráfico da
função f é simplesmente a trajetória do ponto (x, y) do plano cartesiano.
Na próxima seção apresentaremos vários tipos de funções bem como os
seus respectivos gráficos.
3
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3−4 x
y
f (x) = x + 1 1
2
3
4
5
−1
−2
1 2 3−1−2−3−4 x
y
g(x) = |x + 1|
Figura 1.1: Gráficos das funções f (x) = x+ 1 (à esquerda) e f (x) = |x+ 1| (à
direita) referentes ao exemplo 1.1.4.
Exercício 1.1.2. O conjunto {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y = 1} é o gráfico de alguma
função? Em caso afirmativo, descreva explicitamente tal função.
Exercício 1.1.3. A circunferência de centro (a, b) e raio r > 0 é o lugar
geométrico de todos os pontos (x, y) que distam r do ponto (a, b). Assim, a
equação da circunferência de centro (a, b) e raio r é
(x − a)2 + (y − b)2 = r2.
A regra dada implicitamente por (x − a)2 + (y − b)2 = r2 define uma função
y = f (x)? Por que ?
Definição 1.1.4 (Função injetiva). Uma função f : A → B é dita injetiva
se, para cada elemento b ∈ Im( f ), existe um único elemento a ∈ A tal que
f (a) = b. Em outras palavras,
f (x1) = f (x2) ⇐⇒ x1 = x2.
4
Exemplo 1.1.5. Mostre que f (x) = x + 1 é uma função injetiva.
Solução: Sejam x1 e x2 dois elementos do domínio de f . Então:
f (x1) = f (x2)⇐⇒ x1 + 1 = x2 + 1⇐⇒ x1 = x2,
e portanto a função é injetiva.
Exemplo 1.1.6. A função f (x) = x2 não é injetiva, pois f (1) = f (−1) = 1,
mas 1 , −1
Definição 1.1.5 (Função sobrejetiva). Dizemos que a função f : A → B é
sobrejetiva se, e só se, ConDom( f ) = Im( f ).
Definição 1.1.6 (Função bijetiva). Dizemos que a função f : A → B é
bijetiva se, e só se, ela é injetiva e sobrejetiva.
Exemplo 1.1.7. Seja f : R → R uma função definida por f (x) = x + 1.
Vamos mostrar que ela é sobrejetiva: tome um elemento b ∈ ConDom( f ).
Podemos escrever este elemento b na forma (b−1)+1, isto é, b é sucessor de
b − 1, ou seja, f (b − 1) = (b − 1) + 1 = b. Como b ∈ ConDom( f ) foi escolhido
de forma arbitrária, segue que a função é sobrejetiva. Como esta função é
injetiva e sobrejetiva, segue que ela é bijetiva.
Exemplo 1.1.8. A função f : R→ R dada por:
f (x) =
0, se x é irracional1, se x é racional.
Ela não é injetiva, pois f (0) = f (1) = 1. Também não é sobrejetiva pois
Im( f ) = {0, 1}.
1.2 Tipos de funções
Se nada for dito em contrário, os domínios e contra-domínios das fun-
ções consideradas a partir daqui serão sempre o conjunto dos números
reais.
5
Exemplo 1.2.1 (Função constante). Seja y = f (x) uma função. Dizemos
que ela é constante quando ela assume omesmo valor para qualquer valor
de x do domínio. Em outras palavras, se a ∈ R é uma constante, então a
função f (x) = a é uma função constante. Seu gráfico é uma reta paralela ao
eixo OX como mostrado na figura abaixo, considerando a = 3.
1
2
3
4
5
6
−1 1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
x
y
f (x) = 3
Exemplo 1.2.2 (Funçãodegrau). Uma função y = f (x) é chamadade função
degrau quando ela é constante por partes. Como exemplo, consideramos
a função
f (x) =
−1, x < 01, x ≥ 0.
Note que a função é constante e igual a −1 em ] − ∞, 0[ e é igual a 1 em
[0,+∞[. Veja o gráfico 1.2:
Exemplo 1.2.3 (Função linear). Seja f : R → R uma função real. Ela será
chamada de função linear se ela é escrita na forma f (x) = ax, onde a é um
número real. Seu gráfico é uma reta que sempre passa na origem (0, 0) do
plano cartesiano. Se a > 0, o seu gráfico inclina-se para a direita; se a < 0,
sua inclinação está para a esquerda e se a = 0, seu gráfico coincide com o
eixo OX. Veja os gráficos 1.3 para y = 2x e y = −2x.
6
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6 x
y
f
Figura 1.2: Exemplo de função degrau
Exemplo 1.2.4 (Função afim). Seja f : R → R uma função real. Ela será
chamadade função afim se ela é escrita na forma f (x) = ax+b, onde a, b ∈ R.
Seu gráfico é uma reta que passa no ponto (0, b) e é paralela à reta y = ax.
Se a > 0, o seu gráfico inclina-se para a direita; se a < 0, sua inclinação está
para a esquerda e se a = 0, seu gráfico é o gráfico de uma função constante,
paralelo ao eixo OX.
Exemplo 1.2.5 (Função polinomial). Seja f : R→ R uma função real. Ela
será chamada de função polinomial se ela tem a forma de um polinômio.
Em outras palavras, a função
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, a0, a1, . . . , an ∈ R, an , 0.
é uma função polinomial de grau n, n ∈N.
Exemplo 1.2.6. Desenhe o gráfico da função f (x) = x2− 2. Veja a figura 1.4.
Exemplo 1.2.7. Desenhe o gráfico das funções f (x) = x3 (abaixo à esquerda)
e g(x) = x3 − 3x (abaixo à direita).
Observações sobre a função g(x) do Exemplo 1.2.7: no presentemomento,
não temos ferramentas para descobrir o verdadeiro formato desta curva
7
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6 x
y
y = 2xy = −2x
Figura 1.3:Função linear
como a localização dos seus picos, onde ela cresce e decresce. No entanto,
podemos fazer algumas observações. Se escrevermos a função g(x) na
forma fatorada, teremos:
g(x) = x3 − 3x⇐⇒ g(x) = x(x2 − 3)⇐⇒ g(x) = x(x −
√
3)(x +
√
3),
e aí descobrimos suas raízes: 0,
√
3 e −
√
3. Estas três raízes dividem o
eixo OX em quatro intervalos: ] − ∞,−
√
3], ] −
√
3, 0], ]0,
√
3] e ]
√
3,+∞[.
Podemos estudar o sinal da função em cada um destes intervalos.
Intervalo sinal
] −∞,−
√
3] −
] −
√
3, 0] +
]0,
√
3] −
]
√
3,+∞[ +
Desta forma, sabemos se o gráfico está acima ou abaixo do eixo OX em
cada intervalo.
8
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5 x
y
Figura 1.4: Função polinomial de grau 2
Uma segunda análise que podemos fazer é observar o que acontece
com o valor da função quando x assume valores muito grandes positivos e
negativos. No caso da função g(x) acima, vemos que àmedida que x cresce,
o valor de f (x) também cresce com x3. Da mesma forma, à medida que
x decresce com valores negativos, a função também decresce com valores
negativos f (x) na ordem de x3.
Exemplo 1.2.8 (Função racional). Seja f : R → R uma função real. Ela
será chamada de função racional se ela é escrita na forma f (x) =
p(x)
q(x)
, onde
p(x) e q(x) são duas funções polinomiais. O domínio de f é o conjunto
{x ∈ R | q(x) , 0}.
Exemplo 1.2.9. Desenhe o gráfico de f (x) =
x + 1
x
.
9
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = x3 1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
g(x) = x3 − 3x
Figura 1.5: Função polinomial cúbica do exemplo 1.2.7.
Note que f (x) é uma função racional com x , 0. Além disso, ela pode
ser escrita na forma f (x) = 1 +
1
x
. Portanto, o gráfico desta função é obtido
do gráfico de
1
x
transladado uma unidade para cima. Na figura 1.6 à
esquerda mostramos o gráfico de
1
x
e à direita, o gráfico de f (x).
1
2
3
−1 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
f (x) =
1
x 1
2
3
−1 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
f (x) = 1 +
1
x
Figura 1.6: Função racional do exemplo 1.2.9
10
Exemplo 1.2.10. Desenhe o gráfico de f (x) =
x2 + 1
x
. Note que f (x) é uma
função racional com x , 0. Além disso, ela pode ser escrita na forma
f (x) = x +
1
x
.
Suponha que x assume valores positivos: à medida que x cresce, assu-
mindo valores muito grandes, o gráfico de f (x) se aproxima, por cima, do
gráfico de y = x e à medida que x se aproxima de zero, os valores de f (x)
crescem.
Suponha agora que x assume valores negativos: à medida que x de-
cresce, assumindo valores negativos muito grandes, o gráfico de f (x) se
aproxima, por baixo, do gráfico de y = x e à medida que x se aproxima de
zero, os valores de f (x) decrescem. Veja a figura 1.7.
1
2
3
−1 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8 x
y
y = x
f (x) = x +
1
x
Figura 1.7: Função racional do exemplo 1.2.10
11
1.3 Exercícios
1. Simplifique
f (x) − f (p)
x − p com x , p para as seguintes funções:
(a) f (x) = x2 e p = 1. Resp: x + 1
(b) f (x) = x2 e p = −1. Resp: x − 1
(c) f (x) = x2 e p qualquer. Resp: x + p.
(d) f (x) = 5 e p = 2. Resp: 0
(e) f (x) = x3 e p qualquer. Resp: x2 + px + p2.
(f) f (x) =
1
x
e p = 1. Resp: −1
x
.
(g) f (x) =
1
x2
e p = 3. Resp: −x + 3
9x2
.
2. Simplifique
f (x + h) − f (x)
h
, h , 0, para as seguintes funções:
(a) f (x) = 2x + 1. Resp: 2
(b) f (x) = xˆ2 + 3x. Resp: 2x + 3 + h
(c) f (x) = xˆ2 − 2x + 3. Resp: 2x − 2 + h.
(d) f (x) = xˆ3 + x2 − x. Resp: 3x2 + 2x − 1 + 3xh + h + h2.
(e) f (x) = 5. Resp: 0.
(f) f (x) = 1/x. Resp: − 1
x(x + p)
.
3. Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f (x) =
2x
x2 + 1
. Resp: R
(b) f (x) =
√
x − 1
x + 1
. Resp: {x ∈ R | x < −1 ou x ≥ 1}.
(c) f (x) =
√
x2 − 1. Resp: {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 1}.
(d) f (x) =
√
x
3√
x − 1
. Resp: {x ∈ R | x ≥ 0 e x , 1}.
12
(e) f (x) =
√
x − 1 +
√
3 − x. Resp: [1, 3]
(f) f (x) =
√
1 − √x. Resp: [0, 1]
(g) f (x) =
√
x − √x. Resp: {0} ∪ [1,+∞[.
4. Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) =
{
x, se x ≤ 2
3, se x > 2 . Resp: R
(b) f (x) =
{
2x, se x ≤ −1
−x + 1, se x > 1 . Resp: R
(c) f (x) = |x − 1|, Resp: R
(d) f (x) =
x2 − 1
x − 1 , Resp: {x ∈ R | x , 1}.
(e) f (x) =
|x|
x
, Resp: {x ∈ R | x , 0}.
5. Elimine o módulo da função f (x) = |x − 1| + |x − 2| e esboce o seu
gráfico.
6. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) = |x| + |x − 2|.
(b) f (x) = |x| − 1.
(c) f (x) = ||x| − 1|.
7. Estude a variação do sinal de f :
(a) f (x) = (x − 1)(x − 2).
(b) f (x) =
x − 1
x + 1
.
(c) f (x) =
x(2x − 1)
x + 1
.
8. Considere a função f dada por f (x) = x2 + 4x + 5.
(a) Mostre que f (x) = (x + 2)2 + 1.
13
(b) Esboce o gráfico de f .
(c) Qual o menor valor de f (x) ? Qual o valor de x onde f (x) é
mínimo?
9. Seja f (x) = ax2 + bx + c, a , 0.
(a) Verifique que f (x) = a
(
x +
b
2a
)2
− ∆
4a
, onde ∆ = bˆ2 − 4ac.
(b) Mostre que se a > 0, o menor valor de f (x) acontece quando
x = − b
2a
. Qual o menor valor de f (x) ?
(c) Mostre que se a < 0, então f
(
− b
2a
)
= − ∆
4a
é o maior valor
assumido por f . Interprete estes dois casos graficamente.
10. Com relação à função dada, determine as raízes (caso existam), o
maior ou o menor valor e esboce o gráfico.
(a) f (x) = x2 − 3x + 2.
(b) f (x) = x2 + 2x + 1.
(c) f (x) = −x2 + 2x.
(d) f (x) = −x2 − 4x − 5.
(e) f (x) = 2x2 − 3x.
11. (a) Usando o teorema de Pitágoras, encontre uma fórmula para a
distância entre o ponto (x, y) do plano cartesiano e a origem.
(b) Sabendo que oponto (x, y) pertence ao gráficode y =
1
x
, expresse
a fórmula da distância de (x, y) a (0, 0) em termos de x.
12. Ummóvel desloca-se (emmovimento retilíneo) de (0, 0) a (x, 10) com
uma velocidade constante de 1m/s. Em seguida, de (x, 10) a (30, 10)
emmovimento retilíneo comvelocidade constante de 2m/s. Expresse
o tempo total T(x), gasto no percurso, em função de x.
14
1.3.1 Revisão de funções trigonométricas
A unidade de medida mais usual para medir ângulos é o grau. No
entanto, a unidade padrão que iremos adotar aqui é o radiano.
Definição 1.3.1 (Radiano). Considere uma circunferência de raio OA = r
(veja a figura 1.8 à esquerda). Marcamos um ponto P na circunferência de
tal forma que o comprimento do arco ÂP seja igual a r. Traçamos então o
segmento que liga o centro da circunferênciaO ao ponto P. Isso determina
um ângulo P̂OA cuja medida definimos como um radiano.
Agora considere um ângulo θ como mostrado na figura 1.8 à direita.
Queremos saber quantos radianos mede este ângulo. Notamos que este
ânguloθ corresponde ao arco de comprimento s. O número de radianos do
ângulo equivale a perguntar quantas vezes o arco demedida s cabe no arco
de medida r, isto é, θ =
s
r
rad. Como a circunferência tem comprimento de
2πr, um ângulo central completo de 360o equivale a θ =
2πr
r
= 2πrad.
Assim, podemos resumir estas obervações com a seguinte tabela:
2π radianos = 360o π radianos = 180o
1 radiano =
180o
π
≈ 57, 296o 1o = π rad
180o
≈ 0, 0175 rad.
Outra definição útil é a de área do setor circular. Considerando a figura
acima à direita e suponhamos que desejamos medir a área da região do
setor circular QOAQ de ângulo θ. Notamos que a área A do setor circular
está para a área do círculo πr2, assim como o comprimento de arco s do
setor está para o comprimento do circulo 2πr. Em fórmula matemática,
obtemos:
A
πr2
=
s
2πr
⇐⇒ A = 1
2
rs. (1.1)
Passaremos agora a introduzir as noções das funções trigonométricas
seno, cosseno e tangente. Considere a circunferência de raio 1 e centro na
origemdo plano cartesiano (0, 0). Veja a figura 1.9.
15
r
r r
A
P
O
1rad
r
r
s
A
Q
O
θ
Figura 1.8: Medida de um radiano
x
1 y
A = (1, 0)
P = (x, y)
O
θ
{
x = cos θ
y = sen θ
Figura 1.9: O círculo trigonométrico: definição de seno e cosseno
16
θ = 2π θ = π θ = π/2
θ = −2π θ = −π
θ = −π/2
Figura 1.10: Sinal do ângulo θ. O ângulo é positivo quando se percorre o
ciclo trigonométrico no sentido anti-horário (linha de cima) e é negativo,
quando se percorre no sentido horário (linha de baixo).
Considere θ > 0. Seja OP o raio igual a 1 que, a partir de OA gira θ
radianos no sentido anti-horário, como mostra as figuras da linha de cima
a seguir. Se θ < 0, então OA gira −θ no sentido horário. A figura 1.10 faz
uma explanação do que significa um ângulo positivo e negativo.
Observamos também que, para todo θ, θ e θ+2π determinam omesmo
ponto sobre a circunferência. Logo,
sen (θ + 2π) = sen θ se cos (θ + 2π) = cos θ.
Desta forma, os valores de sen θ e cos θ se repetem quando θ > 2π. Daí,
dizemos que as funções seno e cosseno são funções periódicas de período
2π. As outras funções trigonométricas restantes são definidas por:
tg θ =
sen θ
cos θ
, cotθ =
cos θ
sen θ
, sec θ =
1
cos θ
e cossec θ =
1
sen θ
.
Quando θ é positivo e menor que π/2, podemos deduzir as expressões
de seno, cosseno e tangente a partir do triângulo retângulo:
17
−θ
1
(x, y)
(x,−y)
O
θ
Figura 1.11: Funçoes trigonométricas em θ e −θ.
x
r
y
(x, y)
O
θ
sen θ =
lado oposto
hipotenusa
=
y
r
cos θ =
lado adjacente
hipotenusa
=
x
r
tg θ =
lado oposto
lado adjacente
=
y
x
Daí surge a mudança de coordenadas retangulares para a polar:{
x = r cos θ
y = r sen θ.
De forma equivalente, a mudança de coordenadas polares para coordena-
das retangulares obedece as seguintes relações: r =
√
x2 + y2
θ = arctg
(y
x
)
18
De acordo com o que mostra a figura 1.11, observamos que
sen (−θ) = − sen θ, cos (−θ) = cos θ e tg (−θ) = − tg θ.
Isto nos diz que seno e tangente são funções ímpares e cosseno é uma
função par.
Identidades trigonométricas
Exercício 1.3.1. Usando o círculo trigonométrico, mostre que vale a relação
cos 2x + sen 2x = 1 para todo x real.
Exercício 1.3.2. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas e de-
termine para que valores de x elas são válidas.
i) 1 + tg 2x = sec 2x.
ii) 1 + cot2 x = csc2 x.
iii) cos 2x =
1
1 + tg 2x
.
iv) sen 2x =
tg 2
1 + tg 2x
.
Teorema 1.3.1. Sejam a e b números reais quaisquer. As seguintes relações são
válidas.
• sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a.
• sen (a − b) = sen a cos b − sen b cos a.
• cos (a + b) = cos a cos b − sen a sen b.
• cos (a − b) = cos a cos b + sen a sen b.
• tg (a + b) = tg a + tg b
1 − tg a tg b.
• tg (a − b) = tg a − tg b
1 + tg a tg b
.
19
1.4 Exercícios
1. Mostre que o seno é uma função ímpar e o cosseno é uma função par.
2. Mostre que, para todo x,
cos 2x = cos 2x − sen 2x e sen 2x = 2 sen x cos x
3. Mostre que. para todo o x,
cos 2x =
1
2
+
1
2
cos 2x e sen 2x =
1
2
− 1
2
cos 2x
4. Esboce o gráfico da função dada por y = sen
1
x
.
5. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) y = sen 2x.
(b) y = 2 cos x.
(c) y = cos
x
2
.
(d) y = | sen x|.
(e) y = sen πx.
(f) y = x sen x.
(g) y =
1
x
sen x.
(h) y = x sen
1
x
.
(i) y = x2 sen
1
x
.
(j) y = x + sen x.
6. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que:
(a) sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a − b)].
(b) cos a cos b =
1
2
[ cos (a + b) + cos (a − b)].
20
(c) sen a sen b =
1
2
[ cos (a + b) − cos (a − b)].
7. Mostre que, para todo x, com cos
x
2
, 0, tem-se:
(a) sen x =
2 tg
x
2
1 + tg 2
x
2
.
(b) cos x =
1 − tg 2x
2
1 + tg 2
x
2
1.5 Operações com funções
Definição 1.5.1 (Operações com funções). Sejam f : D1 7→ R e g : D2 7→ R
duas funções reais de tal forma que D = D1 ∩D2 seja não vazio.
1. A soma f + g : D 7→ R das funções f e g, com domínio D, é definida
através da expressão: ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D.
2. O produto f · g : D 7→ R das funções f e g, com domínioD, é definida
através da expressão: ( f · g)(x) = f (x) g(x), ∀x ∈ D.
3. Se Dq = {x ∈ D | g(x) , 0}, definimos o quociente
f
g
: Dq 7→ R das
funções f e g através da expressão:
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, ∀x ∈ Dq.
4. Definimos o produto de uma função f por um real k, k f : D1 7→ R,
de domínio D1, através da expressão: (k f )(x) = k f (x), ∀x ∈ D1.
Exemplo 1.5.1. Sejam as funções f (x) =
√
7 − x e g(x) =
√
x − 2. Encontre
as funções f + g, f · g, f
g
, bem como os seus respectivos domínios.
21
Definição 1.5.2 (Composição de duas funções). Sejam f : D1 7→ R e g :
D2 7→ R duas funções reais de tal forma que Im( f ) ⊂ D2. Definimos
a função composta de g e f , denotada por g ◦ f : D1 7→ R através da
expressão
h(x) = (g ◦ f )(x) = g( f (x)), ∀x ∈ D1.
Exemplo 1.5.2. Sejam as funções f , g : R 7→ R definidas por f (x) = 2x + 1
e g(x) = x2 + 3. Encontre g ◦ f e f ◦ g.
Definição 1.5.3 (Igualdade de duas funções). Sejam f : D1 7→ R e g : D2 7→
R duas funções reais. Dizemos que a f = g, isto é, que a função f é igual à
função g se os seus domínios forem iguais, D1 = D2, e se f (x) = g(x), para
todo x do domínio.
1.6 Exercícios
1. Sejam f : D 7→ R e g : D 7→ R duas funções reais. Prove que
f + g = g + f .
2. As f (x) =
√
x
√
x − 1 e g(x) =
√
x2 − x são iguais?
3. Determine o domínio de f + g e
f
g
.
(a) f (x) = x e g(x) =
1√
x
. Resp: D = {x ∈ R | x ≥ 0}.
(b) f (x) = 1 e g(x) =
√
x − 1. Resp: D = {x ∈ R | x > 1}.
4. Determine que a Im( f ) ⊂ Dg e calcule a função composta h(x) =
g( f (x)) nos seguintes casos:
(a) g(x) = 3x + 1 e f (x) = x + 2. Resp: h(x) = 3x + 7.
22
(b) g(x) =
√
x e f (x) = x2 + 2. Resp: h(x) =
√
2 + x2.
(c) g(x) =
x + 1
x − 2 e f (x) = x
2 + 3. Resp: h(x) =
x2 + 4
x2 + 1
.
(d) g(x) =
2
x − 2 e f (x) = x + 1, x , 1. Resp: h(x) =
2
x − 1.
(e) g(x) =
x + 1
x − 2 e f (x) =
2x + 1
x − 1 . Resp: h(x) = x, x , 1.
5. Determine o maior conjunto A tal que Im( f ) ⊂ Dg. Em seguida, ache
a composta h(x) = g( f (x)).
(a) g(x) =
2
x + 2
, f : A 7→ R, f (x) = x + 3.
Resp: A = {x ∈ R | x , −5}, h(x) = 2
x + 5
.
(b) g(x) =
√
x − 1, f : A 7→ R, f (x) = x2.
Resp: A = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 1}, h(x) =
√
x2 − 1.
(c) g(x) =
√
x − 1, f : A 7→ R, f (x) = 2x + 1
x − 3 .
Resp: A = {x ∈ R | x ≤ −4 ou x ≥ 3}, h(x) =
√
x + 4
x − 3.
(d) g(x) =
1
x
, f : A 7→ R, f (x) = x3−x2. A = {x ∈ R | x , 0 e x , 1},
h(x) =
1
x3 − x2 .
6. Determine f demodo que g( f (x)) = x para todo x ∈ D f , sendo g dada
por:
(a) g(x) =
1
x
. Resp: f (x) =
1
x
.
(b) g(x) =
x + 2
x + 1
. Resp: f (x) =
x − 2
1 − x .
(c) g(x) = x2, x ≥ 0. Resp: f (x) = √x.
(d) g(x) = 2 +
3
x + 1
. Resp: f (x) = −1 + 3
x − 2.
(e) g(x) = x2 − 4x + 3, x ≥ 2. Resp: f (x) = 2 +
√
1 + x.
23
7. Prove que tg
x
2
=
sen x
1 + cos x
.
8. Encontre uma expressão para sen 3x em termos de sen x e cos x.
9. Simplifique as seguintes expressões:
(a) sen (x + π/2). Resp: cos x
(b) sen (3π/2 + x).
(c) cos (3π/2 − x). Resp: − sen x
(d) tg (x + 7π/2).
(e) sec (6π + x). Resp: sec x
(f)
sen (x + 5π/2)
cos (π/2 − x) .
1.7 Funções exponenciais
A grosso modo, uma função do tipo f (x) = 2x é chamada de função
exponencial porque a incógnita é um expoente.
Definição 1.7.1. A função f : R 7→ R+∗ definida por f (x) = ax, com a sempre
positivo e diferente de 1 é chamada de função exponencial.
Observações:
• Note que o domínio de f , D f é sempre o conjunto dos reais.
•Como a base a é sempre positiva, então ax é sempre positivo para
todo o x ∈ R. Com isso, a Im( f ) = R+∗ .
• Se x = n um inteiro positivo, então
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n f atores
• Se x = 0, f (0) = a0 = 1.
24
1
2
3
4
5
−1 1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = ax, a > 1 1
2
3
4
5
−1 1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = ax, a < 1
Figura 1.12: Tipos de funções exponenciais. Esquerda: quando a base a é
maior que 1. Direita: quando a base a é positiva e menor que 1.
• Se x = −n, onde n é um inteiro positivo, então a−n = 1
an
.
• Se x e y forem expoentes quaisquer, então:
– ax+y = axay,
– ax−y =
ax
ay
,
– (ax)y = axy,
– (ab)x = axbx.
• Seja a > 1. Vemos que se x1 > x2, então ax1 > ax2 , isto é, a função é
crescente.
• Se 0 < a < 1, vemos que a função é decrescente, isto é, se x1 > x2 então
teremos ax1 < ax2 . Para exemplificar, considere a função f (x) =
(1
2
)x
.
Note que 3 > 2, mas
(1
2
)3
=
1
8
<
(1
2
)2
=
1
4
.
Exemplo 1.7.1. Desenhe o gráfico da função y = 3 − 2x e determine o seu
domínio e a sua imagem.
25
Exemplo 1.7.2. Desenhe os gráficos de 2x e x2 num só plano cartesiano.
Que função crescerá mais rápido à medida que x cresce?
Aplicações da função exponencial: crescimento populacional e decai-
mento radioativo. Será visto com detalhes na Disciplina de Sequências,
Séries e EDO.
A função exponencial mais usada no Cálculo é função f (x) = ex cuja
base a = e. A principal propriedade da função ex que a torna tão especial
é que a reta tangente ao gráfico ex passando pelo ponto (0, 1) tem incli-
nação 1. Estas idéias e a definição formal do número e será vista mais
tarde depois do capítulo de derivadas. Por ora, precisamos saber que
e = 2.7182818284559045....
1.8 Exercícios
1. Faça o gráfico das seguintes funções:
(a) y = 4x − 3.
(b) y = 4x−3.
(c) y = −2−x.
(d) y = 1 + 2ex.
(e) y = 3 − ex.
(f) y = 2 + 5(1 − e−x).
2. Considere o gráfico da função y = ex. Escreva a forma analítica da
função que resulte nos seguintes efeitos sobre o gráfico original:
(a) Deslocamento de 2 unidades para baixo.
(b) Deslocamento de 2 unidades para a direita.
(c) Reflexão em torno do eixo x.
(d) Reflexão em torno do eixo y.
(e) Reflexão em torno do eixo x e também em torno do eixo y.
(f) Reflexão em torno da reta y = 4.
(g) Reflexão em torno da reta x = 2.
26
3. Ache o domínio das seguintes funções:
(a)
1
1 + ex
.
(b)
1
1 − ex .
(c) sen e−x.
(d)
√
1 − 2x.
4. Ache a função exponencial f (x) = cax cujo gráfico é:
x
y
(1, 6)
(3, 24)
x
y
(0, 2) (
2,
2
9
)
5. Se f (x) = ex, mostre que
f (x + h) − f (x)
h
= ex
(
eh − 1
h
)
6. Suponha que você é contratado por um mês para fazer um determi-
nado trabalho. Que tipo de pagamento você prefereria?
(a) Um milhão de reais no final do mês?
(b) Um centavo no primeiro dia, dois centavos no segundo dia,
quatro centavos no terceiro dia, etc. No n-ésimo dia, você ganha
2n−1 centavos.
27
1.9 Funções inversas e logaritmos
Definição 1.9.1 (Função inversa). Seja f : A 7→ B uma função bijetiva com
domínio A e imagem B. A inversa da função f , denotada por f −1, é uma
função com domínio B e imagem A definida por:
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y, ∀y ∈ B.
Da definição de função inversa acima, substituindo y = f (x) teremos a
expressão f −1( f (x)) = x. De forma análoga, f ( f −1(x)) = x. Assim, se f −1 é a
inversa de f , então vale:
• ( f ◦ f −1)(x) = x,
• ( f −1 ◦ f )(x) = x.
A grosso modo, a definição acima diz que se f leva x em y, então f −1 leva
y em x.
Exemplo 1.9.1. Dada a função f (x) = x3, a inversa de f é a função f −1(x) =
x1/3. De fato, se y = x3, então
f −1(y) = f −1(x3) = (x3)1/3 = x.
Como achar a inversa de uma função bijetiva:
Passo 1: Escreva y = f (x).
Passo 2: Resolva esta equação para x em termos de y, se possível.
Passo 3: Troque o x pelo y para encontrar a expressão de f −1(x).
Exemplo 1.9.2. Aplique o procedimento explicado acima e ache a inversa
de f (x) = x3 − 2.
Passo 1: Escrevemos y = x3 − 2.
Passo 2: A seguir, resolvemos a equação encontrando o valor de x:
y = x3 − 2 ⇐⇒ x3 = y + 2 ⇐⇒ x = 3
√
y + 2.
28
Passo 3: Trocamos x por y na expressão encontrada: y =
3√
x + 2. Isso
resulta que f −1(x) =
3√
x + 2.
Sobre o gráfico da função inversa f −1: Da definição de função inversa,
sabemos que se f (a) = b então f −1(b) = a. Disto resulta que o ponto (a, b)
está no gráfico de f se, e somente se, o ponto (b, a) está no gráfico de f −1.
Note que o ponto (b, a) nadamais é que a reflexão do ponto (a, b) em relação
à reta y = x. Com isto, afirmamos que o gráfico de f −1 é obtido por reflexão
do gráfico de f em relação à reta y = x.
Exemplo 1.9.3. Dada a função f (x) =
√
−x − 1, encontre seu domínio e
imagem, sua inversa, se existir, e desennhe os gráficos de f e f −1 nomesmo
plano cartesiano.
1.10 Função logarítmica
Vimos que a função exponencial f (x) = ax com a > 0, a , 1 é uma
função bijetiva. Logo, ela admite uma inversa. Chamaremos esta inversa
de função logarítmica de base a e denotaremospor loga. Usando adefinição
de função inversa f −1(x) = y ⇐⇒ f (y) = x, chegamos à expressão que
define a função logaritmo:
loga x = y ⇐⇒ ay = x.
Note que:
• D(log) = Im(ax) = R+∗ , isto é, só podemos calcular o logaritmo de
números reais positivos.
• Im(log) = D(ax) = R, isto é, a imagem da função logarítmica é todo o
conjunto dos números reais.
• A grosso modo, o valor de loga x é o expoente ao qual a base a deve
ser elevada para obter o número x.
29
• Sabendo que f (x) = ax e f −1(x) = loga x, substituímos em f ( f −1(x)) e
f −1( f (x)) e obtemos:
f ( f −1(x)) = f (loga x) = a
loga x = x
f −1( f (x)) = f −1(ax) = loga a
x = x
• Ográfico de loga x é a reflexão do gráfico de ax em relação à reta y = x.
x
y
y = ax, a > 1
y = loga x, a > 1
y = x
Propriedade dos logaritmos: Se x e y são números reais positivos quais-
quer, então:
1. loga(xy) = loga x + loga y.
2. loga
(
x
y
)
= loga x − loga y.
3. loga x
n = n loga x.
30
Exemplo 1.10.1. Use as leis dos logaritmos para calcular a expressão
log2 80 − log2 5.
Se a base do logaritmo for igual ao número e, chamaremos este loga-
ritmo de logaritmo natural e denotaremos por
loge x = ln x.
Neste caso, teremos as seguintes observações:
• ln x = y ⇐⇒ ey = x. Se x = 1, então y = 0, ou seja, ln 1 = 0.
• ln ex = x. Se x = 1, então ln e = 1.
• eln x = x.
Exemplo 1.10.2. Resolva a equação e5−3x = 10.
Exemplo 1.10.3. Expresse ln a +
1
2
ln b como um simples logaritmo.
Exemplo 1.10.4. Desenhe o gráfico de ln(x − 2) − 1.
1.11 Exercícios
1. Encontre a expressão da função inversa, se existir, para cada função
abaixo:
(a) f (x) =
√
10 − 3x. Resp: f −1(x) = −1
3
x2 +
10
3
, x ≥ 0.
(b) f (x) =
4x − 1
2x + 3
. Resp: f −1(x) =
3x + 1
4 − 2x .
(c) f (x) = ex
3
. Resp: f −1(x) =
3√
ln x.
(d) f (x) = ln(x + 3). Resp: f −1(x) = ex − 3.
(e) f (x) =
1 + ex
1 − ex . Resp: f
−1(x) = ln
(
x − 1
x + 1
)
.
2. Ache os valores exatos das seguintes expressões sem usar a calcula-
dora:
(a) log2 64. Resp: 6.
31
(b) log6
1
36
. Resp: −2.
(c) log8 2. Resp: 1/3.
(d) ln e
√
2. Resp:
√
2
(e) log10 1.25 + log10 80. Resp: 2
(f) log5 10 + log5 20 − 3 log5 2. Resp: 2
(g) 2log2 3+log2 5. Resp: 15
3. Reduza as seguintes expressões a um simples logaritmo:
(a) 2 ln 4 − ln 2. Resp: ln 8
(b) ln x + a ln y − b ln z. Resp: ln
(
xya
zb
)
.
(c) ln(1 + x2) +
1
2
ln x − ln sen x. Resp: ln (1 + x
2)
√
x
sen x
.
4. Desenhe os gráficos das funções a seguir:
(a) ln(x + 5).
(b) − ln x.
(c) ln(−x).
(d) ln |x|.
5. Encontre o valor de x nas equações abaixo:
(a) 2 ln x = 1. Resp:√
e
(b) e2x+3 − 7 = 0. Resp: x = ln 7
2
− 3
2
.
(c) ln x + ln(x − 1) = 1. Resp: 1
2
(1 −
√
1 + 4e.
(d) ln(ln x) = 1. Resp: x = ee.
32
Aula 2
Limite de uma função
2.1 Limite
Vamos estudar o comportamento de uma função f (x) para valores de x
próximos de um ponto a. Consideremos, por exemplo, a função
f : R − {−2, 2} → R, f (x) = x
2 − 2x
x2 − 4 .
Queremos estudar o comportamento de f (x) para valores de x próximos
de 2. Claramente, existem duas possibilidades para x se aproximar de 2:
(1) x se aproxima de 2 por valores
inferiores a 2
x f(x)
1,5 0,4285714286
1,7 0,4594594595
1,9 0,4871794872
1,99 0,4987468672
1,999 0,4998749687
1,9999 0,4999874997
↓ ↓
2 0,5
(2) x se aproxima de 2 por valores
superiores a 2
x f(x)
2,5 0,5555555556
2,3 0,5348837209
2,1 0,5121951220
2,01 0,5012468828
2,001 0,5001249688
2,0001 0,5000124997
↓ ↓
2 0,5
Da tabela vemos que quando x estiver próximode 2 (de qualquer lado de 2)
33
f (x) estará próximo de 0, 5. De fato, podemos tomar os valores de f (x) tão
próximos de 0, 5 quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de
2.Veja a figura abaixo que representa o que está acontecendo nas tabelas.
x
y
2
f (x) =
x2 − 2x
x2 − 4
0, 5
quando x tende a 2
f (x) tende a 0, 5
Expressamos isso dizendo que o limite da função f (x) =
x2 − 2x
x2 − 4 quando
x tende a 2 é igual a 0, 5.
Simbolicamente: lim
x→2
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
Definição 2.1.1 (Limite - Intuitiva). Seja f (x) uma função definida para
valores de x próximos de um valor a, mas não necessariamente definida
34
em a, isto é, não é necessário que f (a) exista. Suponha que exista um
número L com a seguinte propriedade: os valores de f (x) ficam cada vez mais
próximos de L à medida que x se aproxima mais e mais de a. Veja a figura mais
abaixo. Sendo assim, dizemos que L é o limite da função f (x) quando x
tende a a. Simbolicamente escrevemos:
lim
x→a
f (x) = L. (2.1)
Uma outra forma de representar a mesma idéia é:
f (x)→ L quando x→ a
e se lê “ f (x) tende a L quando x tende ao valor a. Note que, quando este
número L não existe, dizemos que f (x) não tem limite quando x tende ao
valor a.
Observações: É importante notar que, da definição de limite, não é
necessário saber o que acontece com f (x) quando x = a. Na realidade, f (x)
nem precisa estar definido em x = a. Note que x tende a a, mas nunca é
igual a a. O que estamos realmente analisando é o comportamento de f (x)
quando x se aproxima arbitrariamente de a.
x
y
a
y = f (x)
f (a)
f definida em a
e lim
x→a
f (x) = f (a)
x
y
y = f (x)
L
a
f não é definida em a
mas lim
x→a
f (x) = L
x
y
y = f (x)
L
a
f definida em amas
lim
x→a
f (x) = L , f (a)
Até agora estivemos analisandoo significadoda equação 2.1 demaneira
muito informal e vaga. Os termos “muito próximos de” não tem precisão
35
matemática e devemos definir com exatidão. Antes de avançarmos para
uma definição formal de limite, vamos analisar um outro exemplo:
Exemplo 2.1.1. Seja f (x) =
2x2 + x
x
. Esta função não está definida para
x = 0 e para x , 0, a função pode ser simplificada para f (x) = 2x + 1.
x
y
0
f (x) =
2x2 + x
x
1
quando x tende a 0
f (x
) t
en
de
a 1
Ao analisar o seu gráfico notamos claramente que f (x) se aproxima de
1 quando x se aproxima de zero, ou seja
lim
x→0
2x2 + x
x
= 1.
Vamos analisar esta aproximação de forma quantitativa. Queremos saber
quão próximo f (x) está de 1 quando x está próximo de 0. Proximidade é
uma noção de distância e a distância de f (x) a 1 pode ser calculada usando
| f (x)−1|. Da expressão de f (x) para x , 0, vemos que | f (x)−1| = |2x|. Vemos
por esta expressão que f (x) pode estar tão perto de 1 quanto se queira
bastando para isso fazer x suficientemente próximo de 0. Por exemplo,
| f (x) − 1| = 1
100
quando |x − 0| = 1
200
,
36
| f (x) − 1| = 1
1000
quando |x − 0| = 1
2000
,
De modo mais geral, chamando de ǫ um número bem pequeno, então a
distância de f (x) a 1 será menor que ǫ, isto é,
| f (x) − 1| < ǫ,
bastando para isso que a distância de x a 0 seja menor que δ = ǫ/2. Pondo
em fórmulas:
se |x − 0| < δ = ǫ/2 então | f (x) − 1| < ǫ.
Esta expressão nos diz exatamente quão próximo x deve estar de 0 para
garantir um certo grau de proximidade previamente estabelecido de 1.
Daqui surge naturalmente a definição de limite por ǫ’s e δ’s.
Definição 2.1.2 (Limite - Definição formal). Seja f (x) uma função real defi-
nida num intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente
o próprio a. Dizemos que f (x) tende a L quando x tende ao valor a se, para
cada número positivo ǫ, existir um número positivo δ tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ.
Em outras palavras,
lim
x→a
f (x) = L
significa que para todo ǫ > 0 (não importa quão pequeno for ǫ) podemos
achar δ > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a − δ, a + δ) e x , a,
então f (x) estará on intervalo aberto (L − ǫ,L + ǫ).
Exemplo 2.1.2. Prove que lim
x→2
(3x + 4) = 10 em termos de ǫ′s e δ′s.
Solução: Devemos mostrar que, para todo ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
|x − 2| < δ ⇒ | f (x) − 10| < ǫ,
onde f (x) = 3x + 4. Para acharmos este δ, vamos analisar a desigualdade
| f (x) − 10| < ǫ.
| f (x) − 10| < ǫ⇐⇒ |3x + 4 − 10| < ǫ⇐⇒ |3x − 6| < ǫ⇐⇒ 3|x − 2| < ǫ
⇐⇒ |x − 2| < ǫ/3.
37
Esta última expressão nos sugere fazer δ = ǫ/3. Assim,
|x − 2| < ǫ/3 ⇒ | f (x) − 10| < ǫ.
Teorema 2.1.1 (Unicidade do limite). Se lim
x→a
f (x) = L1 e lim
x→a
f (x) = L2, então
L1 = L2.
Demonstração. Seja ǫ > 0 qualquer.
i Como lim
x→a
f (x) = L1, existe δ1 > 0 tal que
| f (x) − L1| < ǫ/2 sempre que |x − a| < δ1.
ii Como lim
x→a
f (x) = L2, existe δ2 > 0 tal que
| f (x) − L2| < ǫ/2 sempre que |x − a| < δ2.
Faça δ = min{δ1, δ2} e tome um x tal que |x − a| < δ. Então:
|L1 − L2| = |L1 − f (x) + f (x) − L2| ≤ | f (x) − L1| + | f (x) − L2| < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.
Como ǫ é arbitrariamente pequeno, segue que L1 = L2.
�
2.2 Limites Laterais
Na seção anterior estudamos o limite
lim
x→2
x2 − 2x
x2 − 4
através de 2 tabelas.
(1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas são chamados
de limites laterais:
38
• Quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2, dize-
mos que x tende a 2 pela esquerda, e denotamos simbolicamente
por x→ 2− . Temos então que:
lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
• Quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, dize-
mos que x tende a 2 pela direta, e denotamos simbolicamente
por x→ 2+ . Temos então que:
lim
x→2+
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
(2) Temos que
lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4 = limx→2+
x2 − 2x
x2 − 4 = limx→2
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
Definição 2.2.1 (Limites Laterais - Intuitiva).
(1) Escrevemos
lim
x→a−
f (x) = L
edizemosqueo limitede f (x) quando x tende a apela esquerda é igual
a L se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos
de L, tomando x suficientemente próximo de a com x menor do que
a.
(2) Escrevemos
lim
x→a+
f (x) = L
e dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a pela direta é igual
a L se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos
de L, tomando x suficientemente próximo de a com xmaior do que a.
Segue das definições de limites laterais o seguinte teorema.
39
Teorema 2.2.1. Dizemos que lim
x→a
f (x) = L se, e somente se, lim
x→a−
f (x) = L e
lim
x→a+
f (x) = L.
Deste teorema, podemos retirar as seguintes conclusões importantes:
• se f admite limites laterais em a e lim
x→a−
f (x) , lim
x→a+
f (x) então o limite
lim
x→a
f (x) não existe.
• se f não admite um dos limites laterais em a, então o limite lim
x→a
f (x)
não existe.
Exemplo 2.2.1. Calcule o limite limx→0
x
|x| .
Solução:
Sabemos que:
|x| =
{
x, x ≥ 0
−x, x < 0
Logo,
f (x) =
|x|
x
=
{
1, x ≥ 0
−1, x < 0
Note que lim
x→0
f (x) não existe pois
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
x>0
f (x) = lim
x→0
1 = 1
e
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0
x<0
f (x) = lim
x→0
−1 = −1
40
Veja na figura abaixo.
x
y
1
−1
f
0
Exemplo 2.2.2. Esboce o gráfico de
f (x) =

x2 − 2, x < 2
3, x = 2
8 − x2, x > 2.
Use-o para determinar os seguintes limites:
(i) lim
x→2−
f (x) e (ii) lim
x→2+
f (x)
Existe lim
x→2
f (x) ?
Resolução:
• lim
x→2−
f (x) = lim
x→2
x<2
f (x) = lim
x→2
(x2 − 2) = 2
• lim
x→2+
f (x) = lim
x→0
x>2
f (x) = lim
x→2
(8 − x2) = 4
Como lim
x→2+
f (x) , lim
x→2−
f (x) concluímos que o limite lim
x→2
f (x) não existe. Veja
o gráfico abaixo:
41
x
y
4
3
2
2
−2
y = x2 − 2 y = 8 − x2
2.3 Exercícios
1. Explique com as suas palavras o que significa
lim
x→2
f (x) = 5.
É possível a afirmação ainda ser verdadeira e f (2) = 3?
2. Explique o significado de
lim
x→1−
f (x) = 2 e lim
x→1+
f (x) = 5.
O que você pode dizer sobre o limite de f (x) quando x tende a 1?
3. A função sinal, denotada por sgn, é definida por:
sgn(x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
(a) Esboce o gráfico desta função.
(b) Calcule ou explique porque não existe cada um dos seguintes
limites:
42
i. lim
x→0−
sgn(x). Resp: −1
ii. lim
x→0+
sgn(x). Resp: 1
iii. lim
x→0
sgn(x). Resp: não existe.
iv. lim
x→0
|sgn(x)|. Resp: 1.
4. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→0
f (x).
(b) lim
x→3+
f (x).
(c) lim
x→3−
f (x).
(d) lim
x→3
f (x).
(e) f (3).
Resp:
(a) 3 (b) 2 (c) 4 (d) não existe (e) 3
5. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→1−
f (x).
(b) lim
x→1+
f (x).
(c) lim
x→1
f (x).
(d) lim
x→5
f (x).
(e) f (5).
43
Resp:
(a) 2 (b) 3 (c) não existe (d) 4 (e) não é definido
6. Desenhe o gráfico da seguinte função e use-o para determinar todos
os valores de a para os quais é possível calcular o limite lim
x→a
f (x).
f (x) =

2 − x, x < −1
x, −1 ≤ x < 1
(x − 1)2, x ≥ 1.
Resp:
a ∈ R − {−1, 1}
7. Desenhe um gráfico de uma possível função f (x) que satisfaça as
condições lim
x→0+
f (x) = −1, lim
x→0−
f (x) = 1, lim
x→2−
f (x) = 0, lim
x→2+
f (x) = 1,
f (2) = 1 e f (0) é indefinido.
44
8. Seja
f (x) =
4 − x2 se x ≤ 2x − 1 se x > 2
(a) Encontre lim
x→2−
f (x) e lim
x→2+
f (x).
(b) Existe lim
x→2
f (x) ?
(c) Esboce o gráfico.
Resp:
(a) 0 e 1 (b) não existe
9. Seja
f (x) =

x se x < 1
3 se x = 1
2 − x2 se 1 < x ≤ 2
x − 3 se x > 2
(a) Esboce o gráfico.
(b) Calcule, caso exista lim
x→1−
f (x), lim
x→1
f (x) e f (1).
(c) Calcule, caso exista lim
x→2−
f (x), lim
x→2+
f (x) e lim
x→2
f (x).
Resp:
(b) 1, 1, 3 (c) − 2, −1, não existe
10. Esboceográficode cada funçãoa seguir f , e determine lim
x→a−
f (x), lim
x→a+
f (x)
e, caso exista, lim
x→a
f (x) :
a) f (x) =

3x − 2, x > 1
2, x = 1
4x + 1, x < 1
(a = 1)
b) f (x)=

x2 − 1, x ≥ 1 e x , 2
1, x = 2
1 − x, x < 1
(a = 2)
c) f (x) =
{
x2 − x, x ≥ 0
−x, x < 0
(a = 0)
d) f (x) =
 x + 2|x + 2| , x , −20, x = −2
(a = −2)
45
Resp:
(a) lim
x→1−
f (x) = 5 lim
x→1+
f (x) = 1 ∄ lim
x→1
f (x)
(b) lim
x→2−
f (x) = lim
x→2+
f (x) = lim
x→2
f (x) = 3
(c) lim
x→0−
f (x) = lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
f (x) = 0
(d) lim
x→2−
f (x) = −1 lim
x→2+
f (x) = 1 ∄ lim
x→2
f (x)
11. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista lim
x→x0
f (x), sendo:
a) f (x) =

3x − 2, x > −1
3, x = −1
5 − ax, x < −1
(x0 = −1)
b) f (x) =
 x
2 − 4
x − 2 , x , 2
a, x = 2
(x0 = 2)
Resp:
(a) -10
(b) lim
x→2
f (x) existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um
número real qualquer.
46
Aula 3
Propriedades do Limite de uma
função
3.1 Propriedades do Limite
Para calcular o limite lim
x→a
f (x), nem sempre é necessário construir o seu
gráfico. Há varias propriedades do limite que permitem calcular o seu
valor. Enunciaremos algumas destas propriedades no teorema abaixo.
Teorema3.1.1. Sejam f (x) e g(x) duas funções tais que lim
x→a
f (x) = L1 e lim
x→a
g(x) =
L2, então as seguintes propriedades operatórias são verdadeiras:
a. lim
x→a
( f (x) + g(x)) = L1 + L2 = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x) e se lê “o limite da soma
é igual à soma dos limites.
b. lim
x→a
k f (x) = kL1 = k lim
x→a
f (x). O limite do produto de uma constante por
uma função é igual à constante multiplicada pelo limite da função.
c. lim
x→a
( f (x)g(x)) = L1L2 = lim
x→a
f (x) lim
x→a
g(x) e se lê “o limite do produto é
igual ao produto dos limites.
d. lim
x→a
f (x)
g(x)
=
L1
L2
, se L2 , 0. O limite do quociente é o quociente dos limites
desde que o denominador não seja igual a zero.
47
Demonstração. Se lim
x→a
f (x) = L1, então dado ǫ > 0, existe δ1 tal que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ | f (x) − L1| < ǫ/2.
Da mesma forma, como lim
x→a
g(x) = L2, então dado ǫ > 0, existe δ2 tal que
0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − L2| < ǫ/2.
Chamando agora δ = min{δ1, δ2}, podemos afirmar que:
a.
0 < |x−a| < δ⇒ | f (x)+g(x)−(L1+L2)| < | f (x)−L1|+|g(x)−L2| < ǫ2+
ǫ
2
= ǫ.
b. Se k = 0, k f (x) = 0 para todo x ∈ D f . Logo,
lim
x→a
k f (x) = 0 = k · lim
x→a
f (x) = 0 · lim
x→a
f (x).
Seja k , 0. Como lim
x→a
f (x) = L1, então dado ǫ > 0, existe um δk > 0 tal
que
0 < |x − a| < δk ⇒ | f (x) − L1| < ǫ
k
.
Daí, 0 < |x − a| < δk ⇒ |k f (x) − kL1| < kǫ
k
= ǫ.
d. Usando a propriedade do produto e supondo que L2 , 0,
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
1
g(x)
= L1
1
L2
.
�
Algumas propriedades adicionais
1. Usando induçãofinita, pode-severificar que se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) =
L2, lim
x→a
f3(x) = L3, . . ., lim
x→a
fn(x) = Ln, então
lim
x→a
( f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x)) = L1 + L2 + · · · + Ln,
para todo natural n ≥ 2.
48
2. lim
x→a
[ f (x)]n = [lim
x→a
f (x)]n.
3. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a
f (x), onde n é um inteiro positivo. Se n é par,
supomos que lim
x→a
f (x) ≥ 0.
Observações: Segue do teorema anterior que
1. Se P(x) = a0 + a1x + · · · + anxn uma função polinomial então
lim
x→a
P(x) = P(a)
2. Se f (x) =
P(x)
Q(x)
é uma função racional então
lim
x→a
f (x) = f (a)
desde que Q(a) , 0
3. As propriedades de limites são validos se substituirmos “x→ a′′ por
“x→ a+ ′′ ou “x→ a− ′′.
Exemplo 3.1.1. Calcule os seguinte limites:
1. lim
x→1
(3x4−2x+5).Neste caso P(x) = 3x4−2x+5 é um polinômio. Logo
lim
x→1
(3x4 − 2x + 5) = 3(1)4 − 2(1) + 5 = 6
2. lim
x→2
2x2 − 5
x − 3 . Neste caso como limx→2(x − 3) = −1 , 0 podemos aplicar
propriedade 5, logo lim
x→2
2x2 − 5
x − 3 =
lim
x→2
(2x2 − 5)
lim
x→2
(x − 3) =
3
−1 = −3.
3. lim
x→−1
5
√
x3 + 2x
x2 − 2 . Como limx→−1(x
2 − 2) = −1 , 0 temos que
lim
x→−1
5
√
x3 + 2x
x2 − 2 =
5
√√√√√ lim
x→−1
(x3 + 2x)
lim
x→−1
(x2 − 2) =
5
√
−1 − 2
1 − 2 =
5√
3
49
3.2 Limites envolvendo a indeterminação
0
0
No calculo do limite lim
x→a
f (x)
g(x)
em que f (a) = 0 e g(a) = 0, temos uma
expressão do tipo
0
0
. Chama-se simbolo deindeterminação. Isto não signi-
fica a inexistência do limite. Geralmente esta indeterminação é eliminada
mediante uma simplificação da expressão permitindo o cálculo do limite
por substituição direta. Se f (x) e g(x) forem polinômios podemos fazer
uma simplificação através de uma divisão dos polinômios f (x) e q(x) por
x − a ou usando os produtos notáveis abaixo:
• A2 − B2 = (A − B)(A + B)
• A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2)
• A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2)
Exemplo 3.2.1. Calcule os seguinte limites:
1. lim
x→3
x2 − 9
x − 3 .Neste caso como limx→3(x
2−9) = 0 e lim
x→3
(x−3) = 0 temos uma
indeterminação do tipo
0
0
. Então precisamos simplificar a expressão.
Observe que:
x2 − 9
x − 3 =
(x − 3)(x + 3)
x − 3 = x + 3, ∀x , 3
Logo lim
x→3
x2 − 9
x − 3 = limx→3(x + 3) = 3 + 3 = 6.
2. lim
x→2
√
x2 + 5 − 3
x − 2 . Como limx→2(
√
x2 + 5− 3) = 0 e lim
x→2
(x− 2) = 0, precisa-
mos simplificar antes de substituir. Observe que:
√
x2 + 5 − 3
x − 2 =
(
√
x2 + 5 − 3)
x − 2 ·
(
√
x2 + 5 + 3)
(
√
x2 + 5 + 3)
=
x2 − 4
(x − 2)(
√
x2 + 5 + 3)
=
(x + 2)
(
√
x2 + 5 + 3)
, ∀x , 2.
50
Logo, lim
x→2
√
x2 + 5 − 3
x − 2 = limx→2
(x + 2)
(
√
x2 + 5 + 3)
=
2
3
.
3. lim
x→8
8 − x
2 − 3√x . Como limx→8(8 − x) = 0 e limx→8(2 −
3
√
x) = 0, precisamos
simplificar antes de substituir. Fazendo a mudança de variável y =
3
√
x, ou seja x = y3 na expressão temos que
8 − x
2 − 3√x =
8 − y3
2 − y
=
23 − y3
2 − y
=
(2 − y)(22 + 2y + y2)
2 − y = 4 + 2y + y
2, ∀ y , 2.
Portanto,
lim
x→8
8 − x
2 − 3√x = limy→2(4 + 2y + y
2) = 4 + 4 + 4 = 12.
3.3 Exercícios
1. Calcule os limites a seguir, se existirem:
(a) lim
x→−2
(3x4 + 2x2 − x + 1). Resp: 59
(b) lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x − 4. Resp: 3/4
(c) lim
x→−1
x2 − 4x
xˆ2 − 3x − 4. Resp: não existe.
(d) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
. Resp: 8.
(e) lim
h→0
(1 + h)2 − 1
h
. Resp: 2.
(f) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
. Resp: 12.
51
2. Calcule os limites a seguir, se existirem:
(a) lim
x→5
(x2 − 3x + 4). Resp: 39.
(b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x . Resp: −1/11.
(c) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
. Resp: 6.
(d) lim
x→1
g(x), quando
g(x) =
x + 1 se x , 1π se x = 1.
Resp: 2.
(e) lim
t→0
√
t2 + 9 − 3
t2
. Resp: 1/6.
(f) lim
x→0
|x|. Resp: 0.
(g) lim
x→0
|x|
x
. Resp: não existe.
(h) lim
x→4
f (x), quando
f (x) =

√
x − 4 se x > 4
8 − 2x se x < 4.
Resp: 0.
3. Dado que lim
x→2
f (x) = 4, lim
x→2
g(x) = −2, lim
x→2
h(x) = 0, encontre, se existir,
os seguintes limites. Caso não exista, explique o por quê.
(a) lim
x→2
[ f (x) + 5g(x)]. Resp: −6.
(b) lim
x→2
[g(x)]3. Resp: −8.
(c) lim
x→2
√
f (x). Resp: 2.
52
(d) lim
x→2
3 f (x)
g(x)
. Resp: −6.
(e) lim
x→2
g(x)
h(x)
. Resp: não existe.
(f) lim
x→2
g(x)h(x)
f (x)
. Resp: 0.
4. Os gráficos de f e g são dados abaixo. Use-os para calcular os se-
guintes limites, se existirem. Caso não exista o limite, explique o por
quê.
(a) lim
x→2
[ f (x) + g(x)]. Resp: 2.
(b) lim
x→1
[ f (x) + g(x)]. Resp: não existe.
(c) lim
x→0
[ f (x)g(x)]. Resp: 0.
(d) lim
x→1
f (x)
g(x)
. Resp: não existe.
(e) lim
x→2
[x3 f (x)]. Resp: 16.
(f) lim
x→1
√
f (x) + 3. Resp: 2.
5. Calcule os limites a seguir, caso existam:
(a) lim
x→−1
x − 2
x2 + 4x − 3. Resp:
(b) lim
x→1
( 1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
. Resp: 1/8.
(c) lim
u→−2
√
u4 + 3u + 6. Resp: 16.
(d) lim
x→4−
√
16 − x2. Resp: 0.
(e) lim
x→2
x2 + x − 6
x − 2 . Resp: 5.
6. Calcule os seguintes limites, se existirem:
(a) lim
x→−3
x2 − 9
2x2 + 7x + 3
. Resp: 6/5.
53
(b) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
. Resp: 8.
(c) lim
x→−2
x + 2
x3 + 8
. Resp: 1/12.
(d) lim
t→0
9 − t
3 − √t
. Resp: 6.
(e) lim
x→7
√
x + 2 − 3
x − 7 . Resp: 1/6.
7. Calcule, utilizando propriedades operatórios, os limites a seguir:
a) lim
x→ π2
senx
1 + cos x
b) lim
x→2
∣∣∣∣x2 − 42 − x ∣∣∣∣ c) limx→1 x3 − 1|x − 1|
d) lim
x→ 12
2x2 + 3x − 2
8x3 − 1 e) limx→2 e
( x
4−16
x3−8 ) f ) lim
x→1
√
x − 1
x − 1
g) lim
y→−1
1 − y2
y +
√
2 + y
h) lim
x→4
3 −
√
5 + x
1 −
√
5 − x
i) lim
x→64
√
x − 8
3
√
x − 4
j) lim
x→0
√
2 + 3x −
√
2 + x
x + 3x2
k) lim
x→4
√
x − 3 −
√
5 − x√
x − 2
Resp:
(a) 1 (b) 4 (c) não existe (d)
5
6
(e) e
8
3 ( f )
1
2
(g)
4
3
(h) − 1
3
(i) 3 ( j)
√
2
2
(k) 4
54
Aula 4
Limite Infinito de uma função
4.1 Limites infinitos
Considere as funções
f : R∗ → R
x 7→ f (x) = 1
x2
g : R∗ → R
x 7→ g(x) = − 1
x2
como visto na figura abaixo.
x
y
0
f (x) =
1
x2
x
y
0
g(x) = − 1
x2
55
• Note que, quando x se aproxima de 0, x2 também se aproxima de 0
e f (x) =
1
x2
cresce muito. Quanto menor é o valor de x, maior será
o valor de f (x) =
1
x2
. Para indicar que a função f (x) =
1
x2
cresce
arbitrariamente quando x se aproxima de 0, escrevemos:
lim
x→0
1
x2
= +∞
Observe que o simbolo “ +∞” lê-se “mais infinito” não representa
nenhum número real mas indica o que ocorre com a função quando
x se aproxima de 0.
• De forma análoga, para a função g, quando x se aproxima de 0, os
valores de g(x) decrescem ilimitadamente. Simbolicamente escreve-
mos:
lim
x→a
g(x) = −∞.
Observe que o simbolo “ −∞” lê-se “menos infinito” não representa
nenhum número real mas indica o que ocorre com a função quando
x se aproxima de 0.
Definição 4.1.1 (Intuitiva). Seja f (x) uma função definida em ambos os
lados de a, mas não necessariamente em a.
• Dizemos que
lim
x→a
f (x) = +∞,
quando f (x) torna-se arbitrariamente grande à medida que fazemos
x→ a.
• Dizemos que
lim
x→a
f (x) = −∞,
quando f (x) torna-se arbitrariamente pequeno, à medida que faze-
mos x→ a.
• Definições análogas no caso de limites laterais.
56
De maneira mais formal, podemos dizer que
Definição 4.1.2. Seja f (x) uma função definida num intervalo aberto con-
tendo a, exceto possivelmente em x = a.
• Dizemos que lim
x→a
f (x) = +∞, se para qualquer A > 0, existir um δ > 0
tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > A.
• Dizemos que lim
x→a
f (x) = −∞, se para qualquer B < 0, existir um δ > 0
tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < B.
Proposição 4.1.1. Para todo número natural n, temos
1. lim
x→0+
1
xn
= +∞
2. lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞, se n é par
−∞, se n é ímpar
Veja as figuras abaixo dos gráficos de f (x) =
1
x5
e g(x) =
1
x4
x
y
0
f (x) =
1
x5
x
y
0
g(x) = − 1
x4
57
Proposição 4.1.2. Sejam f (x) e g(x) funções reais tais que lim
x→a
f (x) , 0 e
lim
x→a
g(x) = 0. Então:
1. lim
x→a
f (x)
g(x)
= −∞ se f (x)
g(x)
< 0, quando x se aproxima de a;
2. lim
x→a
f (x)
g(x)
= +∞ se f (x)
g(x)
> 0, quando x se aproxima de a.
Estes resultados continuam válidos se substituirmos “x → a′′ por “x→ a+ ′′ ou
“x→ a− ′′.
Exemplo 4.1.1. Calcule
(a) lim
x→1
3x − 2
(x − 1)2 (b) limx→2
2x − 5
(x − 2)2
Solução
(a) Como lim
x→1
(3x−2) = 1 , 0 e lim
x→1
(x−1)2 = 0, estudamos o sinal de 3x − 2
(x − 1)2
próximo de 1.
x ∈ 2
3
< x < 1 x > 1
3x − 2 + +
(x − 1)2 + +
3x − 2
(x − 1)2 + +
Portanto
3x − 2
(x − 1)2 > 0 próximo de 1. Logo
lim
x→1
3x − 2
(x − 1)2 = +∞.
(b) Como lim
x→2
(2x − 5) = −1 , 0 e lim
x→2
(x − 2)2 = 0, estudamos o sinal de
2x − 5
(x − 2)2 próximo de 2.
58
x ∈ x < 2 2 < x < 5
2
2x − 5 - -
(x − 2)2 + +
2x − 5
(x − 2)2 - -
Portanto
2x − 5
(x − 2)2 < 0 próximo de 2. Logo
lim
x→22x − 5
(x − 2)2 = −∞.
Exemplo 4.1.2. Calcule
(a) lim
x→2+
3x − 5
x2 − 4 (b) limx→2−
3x − 5
x2 − 4 (c) limx→2
3x − 5
x2 − 4
Solução:
Seja f (x) =
3x − 5
x2 − 4 .
Como lim
x→2
(3x − 5) = 1 , 0 e lim
x→2
(x2 − 4) = 0, estudamos o sinal de f (x)
próximo de 2.
x ∈ 5
3
< x < 2 x > 2
3x − 5 + +
x2 − 4 - +
3x − 5
x2 − 4 - +
Portanto
2x − 5
x2 − 4 < 0 próximo de 2 pela esquerda e
2x − 5
x2 − 4 > 0 próximo de
2 pela direta. Logo:
(a) lim
x→2+
3x − 5
x2 − 4 = +∞ (b) limx→2−
3x − 5
x2 − 4 = −∞ (c) limx→2
3x − 5
x2 − 4 não existe
4.2 Propriedades dos limites infinitos
1. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = L e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = +∞ e lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = −∞
59
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] =
{
+∞, se L > 0
−∞, se L < 0
(c) lim
x→a
f (x)
g(x)
= 0
2. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = L e lim
x→a
g(x) = −∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = −∞ e lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] =
{ −∞, se L > 0
+∞, se L < 0
(c) lim
x→a
f (x)
g(x)
= 0
3. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = +∞
4. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = −∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = −∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = +∞
5. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a)lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = −∞ e lim
x→a
[g(x) − f (x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = −∞
Estes resultados continuamválidos se substituirmos “x→ a′′ por “x→ a+ ′′
ou “x→ a− ′′.
Exemplo 4.2.1. Calcule lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4
60
Solução:
lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4 = limx→2+
x2 + 3x
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2+
1
x − 2 ·
x2 + 3x
x + 2
= +∞ · 5
2
= +∞.
Exemplo 4.2.2. Calcule lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1
Solução:
lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1 = limx→1−
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2
= lim
x→1−
1
x − 1 · (x
2 + x + 1)
= −∞ · −3 = +∞
Definição 4.2.1 (Assíntota vertical). Dada uma curva y = f (x), dizemos
que a reta x = a é sua assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes
condições for verdadeira:
lim
x→a
f (x) = ∞ lim
x→a−
f (x) = ∞ lim
x→a+
f (x) = ∞
lim
x→a
f (x) = −∞ lim
x→a−
f (x) = −∞ lim
x→a+
f (x) = −∞
Por exemplo, a reta x = 0 é a assíntota vertical para a curva dada por
y = 1/x2.
Exemplo 4.2.3. Encontre os valores de lim
x→3−
2x
x − 3 e limx→3+
2x
x − 3, caso existam.
Ache as suas assíntotas.
Exemplo 4.2.4. Ache as assíntotas da função f (x) =
sen x
cos x
.
Exemplo 4.2.5. Ache as assíntotas da função f (x) = ln x.
61
4.3 Exercícios
1. Explique o significado de
(a) lim
x→1
f (x) = ∞.
(b) lim
x→4+
f (x) = −∞.
2. Use o gráfico da função f (x) =
1
1 + e1/x
para determinar os valores
dos limites abaixo, caso existam. Se não existirem, explique o por
que.
(a) lim
x→0−
f (x). (b) lim
x→0+
f (x). (c) lim
x→0
f (x)
3. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→2
f (x).
(b) lim
x→5
f (x).
(c) lim
x→−3−
f (x).
(d) lim
x→−3+
f (x).
(e) Determine a equações das
assíntotas verticais.
62
4. Determine os seguintes limites infinitos:
(a) lim
x→5+
6
x − 5.
Resp: +∞.
(b) lim
x→5−
6
x − 5.
Resp: −∞.
(c) lim
x→1
2 − x
(x − 1)2 .
Resp: +∞.
(d) lim
x→0
x − 1
x2(x + 2)
.
Resp: +∞.
(e) lim
x→−2+
x − 1
x2(x + 2)
.
Resp: +∞.
(f) lim
x→5+
ln (x − 5).
Resp: −∞.
5. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
x2 + 1
sen x
b) lim
x→0+
√
x − 1
x2
c) lim
x→5
2x2 + 3
(x − 5)2
d) lim
x→2
5x − 4
|x − 2| e) limx→0
cos 3x
x
f ) lim
x→−3
3x − 11
|x| − 3
g) lim
x→0
√
x + 2 −
√
3
x4
Resp
(a) Não existe pois lim
x→0−
x2 + 1
sen x
= −∞ e lim
x→0+
x2 + 1
sen x
= +∞ (b) −∞ (c)
+∞ (d) +∞
(e) Não existe pois lim
x→0−
cos 3x
x
= −∞ e lim
x→0+
cos 3x
x
= +∞
(f) Não existe pois lim
x→−3−
3x − 11
|x| − 3 = −∞ e limx→−3+
3x − 11
|x| − 3 = +∞ (g) −∞
63
Aula 5
Limite no infinito de uma função
5.1 Limites no infinito: assíntotas horizontais
Exemplo 5.1.1. Analise o comportamentoda função f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
àmedida
que x cresce. Veja o gráfico abaixo:
y
2
f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
1
quando x tende a −∞ quando x tende a +∞
f (x) tende a 1f (x) tende a 1
O gráfico acima mostra claramente que, à medida que x cresce assu-
mindo valores arbitrariamente grandes, o valor de f (x) fica muito próximo
de 1, mas nunca igual a 1. Em termos de limite, escrevemos:
lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1.
64
Generalizando a idéia, podemos escrever a seguinte definição:
Definição 5.1.1. Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞).
Então
lim
x→+∞
f (x) = L
é verdade quando os valores de f (x) estão arbitrariamente próximos de L
fazendo x suficientemente grande.
De forma análoga, a seguinte definição também pode ser feita:
Definição 5.1.2. Seja f uma função definida em algum intervalo (−∞, a).
Então
lim
x→−∞
f (x) = L
é verdade quando os valores de f (x) estão arbitrariamente próximos de L
bastando para isso, fazer x suficientemente pequeno.
Observação: Utilizamos a notação
lim
x→+∞
f (x) = +∞
para indicar que os valores de f (x) tornam-se tão grandes quanto x. De
forma análoga utilizamos a notação:
lim
x→+∞
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = +∞, lim
x→−∞
f (x) = −∞
A seguir apresentamos alguns resultados que nos ajudarão a concluir
algo sobre o comportamento dos valores de uma função quando os valores
de x crescem (ou decrescem) ilimitadamente, sem necessariamente termos
que construir um gráfico.
65
Teorema 5.1.1.
1) lim
x→+∞
xn = +∞, ∀n ∈N∗ é par
2) lim
x→−∞
xn =
{
+∞, se n ∈N∗ é par
−∞, se n ∈N∗ é ímpar
3) lim
x→±∞
1
xn
= 0, ∀n ∈N∗
Exemplo 5.1.2.
lim
x→−∞
x3 = −∞ e lim
x→−∞
x4 = +∞,
lim
x→−∞
1
x3
= 0 e lim
x→+∞
1
x4
= 0
Exemplo 5.1.3. Calcule:
1. lim
x→+∞
(x5 + 3x3 + x + 1)
2. lim
x→−∞
(x5 + 3x3 + x + 1)
3. lim
x→+∞
(x6 + x3 + 1)
Solução:
1. lim
x→+∞
(x5 + 3x3 + x + 1) = lim
x→+∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x
+
1
x5
)
= +∞ · 1 = +∞
2. lim
x→−∞
(x5 + 3x3 + x + 1) = lim
x→−∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x
+
1
x5
)
= −∞ · 1 = −∞
3. lim
x→−∞
(x6 + x3 + 1) = lim
x→−∞
x6
(
1 +
1
x3
+
1
x6
)
= +∞ · 1 = +∞
Exemplo 5.1.4. Calcule
lim
x→−∞
(
√
x2 + 1 − x)
.
66
Solução: Observe que:
lim
x→−∞
√
x2 + 1 =
√
lim
x→−∞
(x2 + 1) = +∞ e lim
x→−∞
x = −∞
Portanto
lim
x→−∞
(
√
x2 + 1 − x) = +∞− (−∞) = ∞ +∞ = +∞
Exemplo 5.1.5. Calcule lim
x→−∞
x5 − 3x2 + 3
2x5 + 7x3
.
Solução:
lim
x→−∞
x5 − 3x2 + 3
2x5 + 7x3
= lim
x→−∞
x5
(
1 − 3
x3
+
3
x5
)
x5
(
2 +
7
x2
)
= lim
x→−∞
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
3
x3
+
✁
✁
✁✁✕
0
3
x5
2 +
✁
✁
✁✁✕
0
7
x2
=
1
2
Exemplo 5.1.6. Calcule lim
x→+∞
3x2 − 2x − 1
x3 + 4
.
Solução:
lim
x→+∞
3x2 − 2x − 1
x3 + 4
= lim
x→+∞
x2
(
3 − 2
x
− 1
x2
)
x3
(
1 +
4
x3
)
= lim
x→+∞
3 −
✄
✄
✄✄✗
0
2
x
−
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
x
1 + ✁✁✁✁✕
0
4
x3

=
3
+∞ = 0.
67
Exemplo 5.1.7. Seja f (x) =
√
x2 − 1
3x − 4 . Calcule
lim
x→+∞
f (x) e lim
x→−∞
f (x)
.
Solução: Lembre que |x| =
√
x2, ou seja
√
x2 =
{ −x, se x < 0
x,se x > 0
• Considerando x→ +∞ implica que x > 0. Portanto
lim
x→+∞
√
x2 − 1
3x − 4 = limx→+∞
√
x2
(
1 − 1
x2
)
x
(
3 − 4
x
) = lim
x→+∞
|x|
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→+∞
x
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→+∞
√
1 − 1
x2
3 − 4
x
=
√
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
3 −
✄
✄
✄✄✗
0
4
x
=
1
3
.
• Considerando x→ −∞ implica que x < 0. Portanto
68
lim
x→−∞
√
x2 − 1
3x − 4 = limx→−∞
√
x2
(
1 − 1
x2
)
x
(
3 − 4
x
) = lim
x→−∞
|x|
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→−∞
−x
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→−∞
−
√
1 − 1
x2
3 − 4
x
=
−
√
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
3 −
✄
✄
✄✄✗
0
4
x
= −1
3
.
Note que estas noções de limites no infinito dão origem à noção de
assíntota horizontal.
Definição 5.1.3 (Assíntota horizontal). A reta y = L é chamada de assíntota
horizontal da curva y = f (x) se
lim
x→∞
f (x) = L ou lim
x→−∞
f (x) = L.
69
Exemplo 5.1.8. Acheos limites infinitos, os limites no infinito e as assíntotas
da função y = f (x) dada pelo gráfico abaixo:
Solução:
Os limites infinitos são:
lim
x→2+
f (x) = +∞, lim
x→2−
f (x) = −∞, e lim
x→−1
f (x) = +∞
Logo as assintotas verticais são x = 2 e x = −1.
Os limites no infinito são:
lim
x→+∞
f (x) = 4, e lim
x→−∞
f (x) = 2
Logo as assintotas horizontais são y = 4 e y = 2.
70
5.2 Exercícios
1. Calcule:
a) lim
x→+∞
(2x5 + 4x2 − 3) b) lim
x→−∞
(4x3 − 2x2 + x − 5) c) lim
x→−∞
(−5ex)
d) lim
x→−∞
√
5x2 + x + 2 e) lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x + x) f ) lim
x→0+
(x2 + ln x)
g) lim
x→+∞
1
1 + 21/x
h) lim
x→2−
ln(2 − x) i) lim
x→1−
π
2 + 3
1
x−1
j) lim
x→+∞
x2 + 3
x + 2
k) lim
x→+∞
5 − x3
8x + 2
l) lim
x→+∞
2x4 + 3x2 + 1
4 − x4
m) lim
x→+∞
x2 + 3x − 1
x3 − 2 n) limx→+∞
3x + |x|
7x − 5|x| o) limx→−∞
3x + |x|
7x − 5|x|
p) lim
x→+∞
1
(x + 2)2
q) lim
x→+∞
x + 1
x2 + 1
r) lim
x→−∞
x + 1
x2 + 1
s) lim
x→+∞
x2 − 2x + 3
2x2 + 5x − 3 t) limx→−∞
3x5 − x2 + 7
2 − x2
Resp:
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) +∞ (e) +∞ ( f ) −∞ (g) 1
2
(h) −∞
(i)
π
2
( j) +∞ (k) −∞ (l) − 2 (m) 0 (n) 2 (o) 1/6 (p) 0
(q) 0 (r) 0 (s) 1/2 (t) 0
71
Aula 6
Continuidade de uma função
6.1 Noção de continuidade
Definição 6.1.1 (Continuidade). Seja uma função y = f (x) definida em
x = a. Dizemos que:
f é contínua em a ⇐⇒ lim
x→a
f (x) = f (a). (6.1)
Note que esta definição diz que se f é contínua em a, então precisamos
ter:
• f está definida em a.
• lim
x→a
f (x) existe.
• lim
x→a
f (x) = f (a).
Observações: Dizemos que uma função f é contínua num intervalo
(a, b) se f é contínua em todos os pontos deste intervalo. E dizemos sim-
plesmente que f é contínua se ela é contínua em todos os pontos do seu
domínio.
72
Definição 6.1.2 (Descontinuidade). Se f está definida em um intervalo
aberto contendo a, exceto possivelmente em a, dizemos que f é descontínua
em a ou que f tem uma descontinuidade em a se f não é contínua em a.
Exemplo 6.1.1. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
 x
2 − 1
x − 1 , se x , 1
1, se x = 1
f não é continua em x = 1 pois
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = limx→1(x + 1) = 2 , 1 = f (1).
Exemplo 6.1.2. Determine, se possível, as constantes a e b de modo que
(a) f (x) =

x2 − ax + 9
x − 3 x < −3
bx x = −3
3x + 1 x > −3
seja contínua em x0 = −3.
(b) f (x) =

ax3 − 1, x < 1 e x , 0
x2 − a, x ≥ 1
b − a, x = 0
seja contínua em x0 = 0 e x1 = 1.
Solução:
(a)
(⋆) lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3
x<−3
f (x) = lim
x→−3
x2 − ax + 9
x − 3 = −
6 + a
2
(⋆) lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3
x>−3
f (x) = lim
x→−3
(3x + 1) = −9 + 1 = −8
73
(⋆) f (−3) = −3b
Logo,
f (x) é continua em x=−3⇔ lim
x→−3−
f (x)= lim
x→3+
f (x)= f (−3)
⇔

−6 + a
2
= −8
−3b = −8
⇔ a = 10 e b = 8
3
(b)
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0
x<0
f (x) = lim
x→0
(ax3 − 1) = −1
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
x>0
f (x) = lim
x→0
(ax3 − 1) = −1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1
x<1
f (x) = lim
x→1
(ax3 − 1) = a − 1
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1
x>1
f (x) = lim
x→1
(x2 − a) = 1 − a
Logo,
(∗) f (x) é continua em x=1⇔ lim
x→1−
f (x)= lim
x→1+
f (x)= f (1)
⇔ a − 1 = 1 − a
⇔ a = 1
(∗∗) f (x) é continua em x=0⇔ lim
x→0−
f (x)= lim
x→0+
f (x)= f (0)
⇔ b − a = −1
⇔ b = −1 + a
⇔ b = 0
74
6.2 Propriedades das funções contínuas.
Nesta seção estudaremos alguns resultados importantes sobre funções
contínuas.
Teorema 6.2.1. Sejam f e g funções contínuas em p e seja k uma constante.
Então f + g, f g e k f são contínuas em p. O quociente f/g será contínuo em p se
g(p) , 0.
Demonstração. Como f e g são contínuas em p, segue que lim
x→p
f (x) = f (p) e
lim
x→p
g(x) = g(p). Usando a propriedade da adição de limites,
lim
x→p
( f +g)(x) = lim
x→p
( f (x)+g(x)) = lim
x→p
f (x)+ lim
x→p
g(x) = f (p)+g(p) = ( f +g)(p),
isto é, f + g é contínua em p. Verifique os outros casos. �
Teorema 6.2.2. Toda função polinomial é contínua em R.
Demonstração. Um polinômio de grau n ∈N pode ser escrito como
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn
e portanto é a soma de funções contínuas. Pelo exemplo anterior, f é
contínua. �
Teorema 6.2.3. Toda função racional é contínua no seu domínio.
Demonstração. Uma função racional é do tipo f =
g
h
, onde g e h são funções
polinomiais. Assim, f é contínua em todo o p que não anula o denomina-
dor. �
75
Teorema 6.2.4. As funções sen x e cos x são contínuas para qualquer valor real
de x, ou seja
lim
x→a
sen x = sen a, lim
x→a
cos x = cos a, ∀a ∈ R
Teorema 6.2.5. A função f (x) = tg x é continua emR−
{
π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
.Veja
gráfico abaixo.
x
y
0
π
2
π 3π
2
−π
2
−π−3π
2
Podemos concluir que tg x é descontinua em
π
2
e
lim
x→ π2 +
tg x = −∞ e lim
x→ π2 −
tg x = +∞
Teorema 6.2.6. A função arcotangente arctgx é continua em R. Veja o gráfico
abaixo.
76
x
y
0
π
2
−π
2
Podemos concluir que
lim
x→+∞
arctgx =
π
2
e lim
x→−∞
arctgx = −π
2
Teorema 6.2.7. As funções exponenciais são continuas para todo valor real de x.
Em particular a função exponencial ex é contínua para todo valor real de x.
x
y
f (x) = ax, a > 1
x
y
f (x) = ax, a < 1
Podemos concluir que
• Para a > 1, temos que
 limx→−∞ a
x = 0
lim
x→+∞
ax = +∞
77
• Para a < 1, temos que
 limx→−∞ a
x = +∞
lim
x→+∞
ax = 0
Teorema 6.2.8. A função logaritmo ln x é contínua para todo x > 0.
x
y
0
y = ln x
Podemos concluir que
lim
x→0+
ln x = −∞ e lim
x→+∞
ln x = +∞.
Teorema 6.2.9 (Continuidade da composição de funções). Sejam f e g duas
funções tais que Im f ⊂ Dg. Se lim
x→p
f (x) = a e g é contínua em a, então
lim
x→p
g( f (x)) = lim
u→a
g(u) = g(a).
Este teorema nos diz que se g for contínua em a e lim
x→p
f (x) = a, então
lim
x→p
g( f (x)) = lim
u→a
g(u) = g(a) = g(lim
x→p
f (x)). Note que não se exige a conti-
nuidade da f em a. No próximo teorema a continuidade da função f em p
é hipótese.
78
Teorema 6.2.10. Se f é contínua em p e g é contínua em f (p), então a composta
g( f (x)) é contínua em p, isto é, a composta de duas funções contínuas é uma função
contínua.
Demonstração. Como f é contínua em p, nós temos:
lim
x→p
f (x) = f (p).
Como g é contínua em a = f (p), segue do teorema anterior que:
lim
x→p
g( f (x)) = g(lim
x→p
f (x)) = g( f (p)),
isto é, que a composta é contínua em p.