a hora de fazer DDL

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<p>32. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?</p><p>A) \( -\frac{1}{x^2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>C) \( -\frac{2}{x^2} \)</p><p>D) \( \frac{2}{x^2} \)</p><p>**Resposta: A) \( -\frac{1}{x^2} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do poder: \( f(x) = x^{-1} \) resulta em \( f'(x) = -x^{-2} = -</p><p>\frac{1}{x^2} \).</p><p>33. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \).</p><p>A) 0</p><p>B) -1</p><p>C) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: C) \( -\frac{1}{2} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \cos(x) \): \( \cos(x) \approx 1 -</p><p>\frac{x^2}{2} + O(x^4) \). Assim, \( \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \approx -\frac{1}{2} \).</p><p>34. Determine a integral de \( f(x) = 7x^6 \).</p><p>A) \( x^7 + C \)</p><p>B) \( \frac{7}{7}x^7 + C \)</p><p>C) \( 7x^7 + C \)</p><p>D) \( 6x^7 + C \)</p><p>**Resposta: B) \( \frac{7}{7}x^7 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( 7x^6 \) é \( \frac{7}{7}x^7 + C = x^7 + C \).</p><p>35. Qual é o valor da derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 15x + 6 \) em \( x = 1 \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta: A) 0**</p><p>**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 15 \). Avaliando em \( x = 1 \),</p><p>temos \( f'(1) = 5 - 20 + 30 - 15 = 0 \).</p><p>36. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta: C) 2**</p><p>**Explicação:** O numerador pode ser fatorado como \( (x - 1)(x + 1) \), então o limite se</p><p>torna \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>37. Determine a integral definida \( \int_1^3 (3x^2 - 2)dx \).</p><p>A) 6</p><p>B) 8</p><p>C) 10</p><p>D) 12</p><p>**Resposta: A) 6**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - 2x \right]_1^3 = (27 - 6) - (1 - 2) = 21 + 1 = 22 \).</p><p>38. Qual é o valor da derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x) \)?</p><p>A) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)</p><p>B) \( 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \)</p><p>C) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)</p><p>D) \( x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) \)</p><p>**Resposta: A) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \), onde \( u = x^2 \) e \( v =</p><p>\sin(x) \).</p><p>39. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Indeterminado</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0}</p><p>\). Derivando o numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 0 \).</p><p>40. Determine a integral de \( f(x) = 8x^3 \).</p><p>A) \( 2x^4 + C \)</p><p>B) \( 4x^4 + C \)</p><p>C) \( 8x^4 + C \)</p><p>D) \( x^4 + C \)</p><p>**Resposta: B) \( 2x^4 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( 8x^3 \) é \( 2x^4 + C \).</p><p>41. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{5x} \)?</p><p>A) \( 5e^{5x} \)</p><p>B) \( e^{5x} \)</p><p>C) \( 25e^{5x} \)</p><p>D) \( 2e^{5x} \)</p><p>**Resposta: A) \( 5e^{5x} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \).</p><p>Aqui, \( u = 5x \) e \( u' = 5 \), então a derivada é \( 5e^{5x} \).</p><p>42. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 4</p><p>**Resposta: C) 2**</p><p>**Explicação:** Usamos o limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \).</p><p>Aqui, \( k = 2 \), logo \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \).</p><p>43. Determine a integral definida \( \int_0^1 (2x^2 + 3)dx \).</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>**Resposta: B) 2**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} + 3</p><p>\right) - 0 = \frac{2}{3} + 3 = \frac{11}{3} \).</p><p>44. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{3x + 2} \)?</p><p>A) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \)</p><p>C) \( \frac{3}{\sqrt{3x + 2}} \)</p><p>D) \( \frac{1}{\sqrt{3x + 2}} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \(</p><p>\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \), onde \( u = 3x + 2 \) e \( u' = 3 \).</p><p>45. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta: C) 3**</p><p>**Explicação:** O numerador pode ser fatorado como \( (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x +</p><p>1)(x^2 + 1) \), então o limite se torna \( \lim_{x \to 1} (x + 1)(x^2 + 1) = 3 \).</p><p>46. Determine a integral de \( f(x) = 9x^2 \).</p><p>A) \( 3x^3 + C \)</p><p>B) \( 9x^3 + C \)</p><p>C) \( \frac{9}{3}x^3 + C \)</p><p>D) \( 3x^3 + 1 + C \)</p>