Para encontrar a série de Taylor de \( f(x) = \ln(1+x) \) em torno de 0 até o segundo grau, precisamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em \( x = 0 \). 1. Função: \( f(x) = \ln(1+x) \) 2. Primeira derivada: \( f'(x) = \frac{1}{1+x} \) - Avaliando em \( x = 0 \): \( f'(0) = 1 \) 3. Segunda derivada: \( f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \) - Avaliando em \( x = 0 \): \( f''(0) = -1 \) Agora, a série de Taylor até o segundo grau é dada por: \[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \] Calculando: - \( f(0) = \ln(1+0) = 0 \) - \( f'(0) = 1 \) - \( \frac{f''(0)}{2} = \frac{-1}{2} \) Portanto, a série de Taylor até o segundo grau é: \[ f(x) \approx 0 + 1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 = x - \frac{x^2}{2} \] Assim, a alternativa correta é: a) \( x - \frac{x^2}{2} \)