Encontre a derivada de f(x) = ln(x^2 + 2x + 1). A) (2x + 2)/(x^2 + 2x + 1) B) (2x + 1)/(x^2 + 2x + 1) C) (2x + 2)/((x + 1)^2) D) (2x)/(x^2 + 2x + 1)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 2x + 1 \). 1. Primeiro, encontramos \( u' \): \[ u = x^2 + 2x + 1 \implies u' = 2x + 2 \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \cdot (2x + 2) \] 3. Simplificando, temos: \[ f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \] Agora, podemos observar que \( x^2 + 2x + 1 \) é igual a \( (x + 1)^2 \). Portanto, a derivada pode ser reescrita como: \[ f'(x) = \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{x + 1} \] No entanto, para a resposta correta entre as opções dadas, a forma mais simplificada que se encaixa é: A) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \) Portanto, a alternativa correta é a A).