Qual é o valor da integral ∫_0^1 (x^2 - x) dx? a) (1/3) - (1/2) = -(1/6) b) 0 c) (1/4) d) (1/6)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^2 - x) \, dx\), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a antiderivada de \(-x\) é \(-\frac{x^2}{2}\). Portanto, a antiderivada de \(x^2 - x\) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \(F(x)\) de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ F(1) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \] Agora, avaliamos em 0: \[ F(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} = 0 \] 3. Calcular a integral: Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^2 - x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{6} - 0 = -\frac{1}{6} \] Agora, analisando as alternativas: a) \((1/3) - (1/2) = -(1/6)\) - Correto, pois é a mesma conta que fizemos. b) \(0\) - Incorreto. c) \((1/4)\) - Incorreto. d) \((1/6)\) - Incorreto. A alternativa correta é a) \((1/3) - (1/2) = -(1/6)\).