Para resolver a questão sobre o fluxo do campo vetorial \( F(x, y, z) = (x^2yz, xy^2z, xy^2) \) através da superfície delimitada pelos planos coordenados e pelos planos \( x = 3 \), \( y = 1 \) e \( z = 2 \), vamos aplicar o Teorema de Gauss. Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial \( F \): \[ \text{div} F = \frac{\partial}{\partial x}(x^2yz) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(xy^2) \] Calculando cada termo: 1. \( \frac{\partial}{\partial x}(x^2yz) = 2xyz \) 2. \( \frac{\partial}{\partial y}(xy^2z) = 2xyz \) 3. \( \frac{\partial}{\partial z}(xy^2) = 0 \) Portanto, a divergência é: \[ \text{div} F = 2xyz + 2xyz + 0 = 4xyz \] Agora, precisamos calcular a integral da divergência sobre a região delimitada pelos planos. A região é um paralelepípedo com limites: - \( 0 \leq x \leq 3 \) - \( 0 \leq y \leq 1 \) - \( 0 \leq z \leq 2 \) A integral do fluxo é dada por: \[ \iint\int_V \text{div} F \, dV = \int_0^3 \int_0^1 \int_0^2 4xyz \, dz \, dy \, dx \] Calculando a integral: 1. Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_0^2 4xyz \, dz = 4xy \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^2 = 4xy \cdot 2 = 8xy \] 2. Agora, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^1 8xy \, dy = 8x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 8x \cdot \frac{1}{2} = 4x \] 3. Finalmente, integramos em relação a \( x \): \[ \int_0^3 4x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = 4 \cdot \frac{9}{2} = 18 \] Portanto, o fluxo exterior da superfície é \( 18 \). A alternativa correta é: D. ( ) 18.