Para calcular o fluxo do campo vetorial \( F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) \) através da superfície da esfera de raio 2 centrada na origem, utilizamos o Teorema de Gauss, que afirma que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral do divergente do campo vetorial sobre o volume encerrado por essa superfície. Primeiro, vamos calcular a divergente do campo vetorial \( F \): \[ \nabla \cdot F = \frac{\partial (2x)}{\partial x} + \frac{\partial (3y)}{\partial y} + \frac{\partial (4z)}{\partial z} = 2 + 3 + 4 = 9 \] Agora, precisamos calcular o fluxo através da superfície da esfera de raio 2. O volume \( V \) da esfera é dado por: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \] Agora, aplicamos o Teorema de Gauss: \[ \text{Fluxo} = \int_V (\nabla \cdot F) \, dV = \int_V 9 \, dV = 9 \cdot V = 9 \cdot \frac{32}{3} \pi = 96 \pi \] Portanto, o fluxo do campo vetorial \( F \) através da superfície \( S \) é: d) \( 96 \pi \)