Para determinar a natureza do ponto crítico \( (0, 0) \) da função \( h(x, y) = x^2 - y^2 \), precisamos calcular as derivadas parciais e o discriminante. 1. Derivadas parciais: - \( h_x = \frac{\partial h}{\partial x} = 2x \) - \( h_y = \frac{\partial h}{\partial y} = -2y \) 2. Encontrando os pontos críticos: - Igualando as derivadas a zero: - \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \) - \( -2y = 0 \) → \( y = 0 \) - Portanto, \( (0, 0) \) é um ponto crítico. 3. Segunda derivada: - \( h_{xx} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 2 \) - \( h_{yy} = \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = -2 \) - \( h_{xy} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = 0 \) 4. Discriminante: - \( D = h_{xx} \cdot h_{yy} - (h_{xy})^2 = (2)(-2) - (0)^2 = -4 \) 5. Análise do discriminante: - Se \( D < 0 \), o ponto crítico é um ponto de sela. Portanto, a natureza do ponto crítico \( (0, 0) \) da função \( h(x, y) \) é um ponto de sela. A alternativa correta é: d) Ponto de sela.