Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos dados, precisamos seguir alguns passos: 1. Identificar os vetores normais dos planos: - Para o plano \( \pi_1: 2x + y - 2z + 3 = 0 \), o vetor normal \( \vec{n_1} \) é \( (2, 1, -2) \). - Para o plano \( \pi_2 \), que é definido pelas equações paramétricas \( x = 1 + a + \gamma \), \( y = 2 + 2a - \gamma \), \( z = a - \gamma \), precisamos encontrar um vetor normal. Para isso, podemos encontrar dois vetores que estão no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial. 2. Encontrar vetores no plano \( \pi_2 \): - Se considerarmos \( a \) e \( \gamma \) como variáveis, podemos escolher dois valores para \( a \) e \( \gamma \) para encontrar dois vetores. Por exemplo: - Para \( a = 0 \) e \( \gamma = 0 \): \( (1, 2, 0) \) - Para \( a = 1 \) e \( \gamma = 0 \): \( (2, 4, 1) \) - Os vetores \( \vec{v_1} = (1, 2, 0) \) e \( \vec{v_2} = (2, 4, 1) \) estão no plano. 3. Calcular o vetor normal do plano \( \pi_2 \): - O vetor normal \( \vec{n_2} \) pode ser encontrado pelo produto vetorial \( \vec{v_1} \times \vec{v_2} \). 4. Calcular o cosseno do ângulo entre os planos: - O cosseno do ângulo \( \theta \) entre os planos é dado por: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] - Onde \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \) é o produto escalar e \( |\vec{n_1}| \) e \( |\vec{n_2}| \) são as magnitudes dos vetores normais. 5. Multiplicar o resultado por 7: - Finalmente, o valor que você procura é \( 7 \cdot \cos(\theta) \). Se precisar de mais detalhes sobre algum passo específico, é só avisar!