qual é o raio de convergência da série \sum _{n=1}^{\infty }\:cn\:.\:\left(z\:-\:1\right)^{^n}tal\:que\:cn\:=\:\frac{5}{n}\:+\:\frac{2}{n-1}\:.\:i

Para encontrar o raio de convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} c_n (z - 1)^n\), onde \(c_n = \frac{5}{n} + \frac{2}{n-1} i\), podemos usar o critério do raio de convergência de Cauchy-Hadamard. O raio de convergência \(R\) é dado por: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |c_n|^{1/n} \] Primeiro, vamos calcular \(|c_n|\): \[ |c_n| = \left| \frac{5}{n} + \frac{2}{n-1} i \right| = \sqrt{\left(\frac{5}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n-1}\right)^2} \] Para \(n\) grande, podemos aproximar: \[ |c_n| \approx \sqrt{\left(\frac{5}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{n^2} + \frac{4}{n^2}} = \sqrt{\frac{29}{n^2}} = \frac{\sqrt{29}}{n} \] Agora, aplicando o limite: \[ \limsup_{n \to \infty} |c_n|^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt{29}}{n}\right)^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{29})^{1/n}}{n^{1/n}} = 1 \] Portanto, temos: \[ \frac{1}{R} = 0 \implies R = \infty \] Assim, o raio de convergência da série é \(R = \infty\), o que significa que a série converge para todo \(z\) no plano complexo.