12. Demonstre que, em um paralelogramo de lados a e b, a soma dos quadrados de suas diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados.

Para demonstrar que, em um paralelogramo de lados \( a \) e \( b \), a soma dos quadrados de suas diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados, vamos usar a seguinte abordagem: 1. Identificação das diagonais: Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam e podem ser representadas como \( d_1 \) e \( d_2 \). 2. Fórmula das diagonais: As diagonais de um paralelogramo podem ser expressas em termos dos lados \( a \) e \( b \) e do ângulo \( \theta \) entre eles: \[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)} \] \[ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)} \] 3. Cálculo dos quadrados das diagonais: \[ d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta) \] \[ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) \] 4. Soma dos quadrados das diagonais: \[ d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)) \] \[ d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2 \] 5. Dobro da soma dos quadrados dos lados: \[ 2(a^2 + b^2) \] 6. Conclusão: Portanto, temos que: \[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \] O que demonstra que a soma dos quadrados das diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados do paralelogramo. Assim, a afirmação está provada!