Para encontrar a integral indefinida da função \( f(x) = \sqrt{1 + x^2} \), podemos usar a substituição trigonométrica ou uma abordagem direta. A integral de \( \sqrt{1 + x^2} \) é conhecida e pode ser expressa como: \[ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C \] Analisando as alternativas: a) \( \ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C \) - Esta parte está correta, mas não é a integral completa. b) \( \ln(\sqrt{1 + x^2} - x) + C \) - Esta não é a forma correta da integral. c) \( \sin^{-1}(x) + C \) - Esta não é a integral de \( \sqrt{1 + x^2} \). d) \( \cos^{-1}(x) + C \) - Também não é a integral correta. A alternativa que mais se aproxima da integral indefinida correta é a) \( \ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C \), embora falte a parte da expressão que envolve \( \frac{x}{2} \sqrt{1 + x^2} \). Portanto, a resposta correta é a) \( \ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C \).