a linguagem dos numeros 8LNPI

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Questão: Qual é a integral indefinida da função \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\)? 
 
Alternativas: 
a) \(\ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C\) 
b) \(\ln(\sqrt{1 + x^2} - x) + C\) 
c) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
d) \(\cos^{-1}(x) + C\) 
 
Resposta: a) \(\ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C\) 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\), 
podemos fazer a substituição \(x = \sinh(t)\), onde \(\sinh(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}\). 
Com isso, temos: 
 
\(\int \sqrt{1 + x^2} dx = \int \cosh(t) \cdot \cosh(t) dt = \int \cosh^2(t) dt\). 
 
Usando a identidade trigonométrica \(\cosh^2(t) = \frac{1 + \cosh(2t)}{2}\), obtemos: 
 
\(\int \cosh^2(t) dt = \int \frac{1 + \cosh(2t)}{2} dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4} \sinh(2t) + 
C\). 
 
Substituindo \(t = \sinh^{-1}(x)\), temos: 
 
\(\int \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(x) + \frac{1}{4} \sinh(2\sinh^{-1}(x)) + 
C\). 
 
Simplificando e utilizando as propriedades do seno hiperbólico, chegamos em: 
 
\(\int \sqrt{1 + x^2} dx = \ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C\). 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a) \(\ln(\sqrt{1 + x^2} + x) + C\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = \cos(2x)\)? 
 
Alternativas: 
a) \(f'(x) = -2\sin(2x)\) 
b) \(f'(x) = -\sin(2x)\) 
c) \(f'(x) = 2\cos(2x)\) 
d) \(f'(x) = -2\cos(2x)\) 
 
Resposta: a) \(f'(x) = -2\sin(2x)\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \cos(2x)\), aplicamos a regra da 
cadeia. A derivada de \(\cos(u)\) é \(-\sin(u)\) e derivada de \(2x\) é \(2\). Portanto, a 
derivada de \(f(x) = \cos(2x)\) será \(-2\sin(2x)\). 
 
Questão: Qual é o valor da integral indefinida de x^2? 
 
Alternativas: 
a) x^3/3 + C 
b) x^3/2 + C 
c) x^2/3 + C 
d) 3x^2 + C 
 
Resposta: a) x^3/3 + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida de x^2, primeiro adicionamos 1 ao 
expoente e dividimos o termo pelo novo expoente. Portanto, a integral de x^2 é 
x^(2+1)/(2+1) + C = x^3/3 + C, onde C é a constante de integração. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 15x^2 - 4x + 7 
b) f'(x) = 15x^2 - 4x 
c) f'(x) = 15x^2 - 4 
d) f'(x) = 15x^2 - 2x + 7 
 
Resposta: a) f'(x) = 15x^2 - 4x + 7 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos derivar cada termo 
separadamente. 
f'(x) = d/dx(5x^3) - d/dx(2x^2) + d/dx(7x) - d/dx(4) 
f'(x) = 15x^2 - 4x + 7 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa a) 15x^2 - 4x + 7. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 - 2x + 5? 
 
Alternativas: 
a) 6x - 2