Em uma matriz quadrada A de ordem 2x2, qual a forma geral da matriz inversa de A?

a) $ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $
b) $ \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $
c) $ \begin{bmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-b}{a} \\ \frac{-c}{a} & \frac{d}{a} \end{bmatrix} $
d) $ \begin{bmatrix} ad & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $

Question

Em uma matriz quadrada A de ordem 2x2, qual a forma geral da matriz inversa de A?

a) $ \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $
b) \( \fra...

Ed · Answer

Para encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada $ A $ de ordem $ 2 \times 2 $, a forma geral da matriz $ A $ é dada por:

$$
A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}
$$

A matriz inversa $ A^{-1} $ é calculada pela fórmula:

$$
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}
$$

onde $ ad - bc $ é o determinante da matriz $ A $. Essa fórmula só é válida se o determinante $ ad - bc $ for diferente de zero.

Analisando as alternativas:

a) $ \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $ - Esta é a forma da matriz original, não da inversa.

b) $ \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $ - Esta é a forma correta da matriz inversa.

c) $ \begin{bmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-b}{a} \ \frac{-c}{a} & \frac{d}{a} \end{bmatrix} $ - Esta forma não é a inversa correta.

d) $ \begin{bmatrix} ad & -c \ -b & a \end{bmatrix} $ - Esta também não é a forma da inversa.

Portanto, a alternativa correta é: **b) $ \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $**.

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