Qual é o valor de x na seguinte equação logarítmica? \( \log_{3}(x-4) + \log_{3}(x+2) = 2 \) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

Para resolver a equação logarítmica \( \log_{3}(x-4) + \log_{3}(x+2) = 2 \), podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto: \[ \log_{3}((x-4)(x+2)) = 2 \] Agora, podemos eliminar o logaritmo, elevando 3 à potência de ambos os lados: \[ (x-4)(x+2) = 3^2 \] Isso simplifica para: \[ (x-4)(x+2) = 9 \] Agora, vamos expandir a expressão: \[ x^2 + 2x - 4x - 8 = 9 \] Simplificando, temos: \[ x^2 - 2x - 8 = 9 \] Subtraindo 9 de ambos os lados: \[ x^2 - 2x - 17 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \( a = 1 \), \( b = -2 \) e \( c = -17 \): \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 68}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{72}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 6\sqrt{2}}{2} \] \[ x = 1 \pm 3\sqrt{2} \] Agora, precisamos verificar qual das opções dadas corresponde a um valor viável para \( x \). Calculando \( 1 + 3\sqrt{2} \) e \( 1 - 3\sqrt{2} \): - \( 1 + 3\sqrt{2} \) é aproximadamente 5,24 (que é viável). - \( 1 - 3\sqrt{2} \) é negativo, então não é viável. Assim, a única opção que se aproxima de um valor viável é: a) 5 Portanto, a resposta correta é a) 5.