Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2) + 3\cos(x) - \ln(5x) \), vamos derivar cada termo separadamente. 1. Derivada de \( \ln(x^2) \): \[ \frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{2}{x} \] 2. Derivada de \( 3\cos(x) \): \[ \frac{d}{dx} 3\cos(x) = -3\sin(x) \] 3. Derivada de \( -\ln(5x) \): \[ \frac{d}{dx} -\ln(5x) = -\frac{1}{5x} \cdot 5 = -\frac{1}{x} \] Agora, juntando tudo, temos: \[ f'(x) = \frac{2}{x} - 3\sin(x) - \frac{1}{x} \] Simplificando: \[ f'(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} - 3\sin(x) = \frac{1}{x} - 3\sin(x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{2}{x} + 3\sin(x) - \frac{5}{x} \) b) \( 2x + 3\sin(x) - 5x \) c) \( \frac{2}{x} + 3\cos(x) - \frac{5}{x} \) d) \( 2x + 3\cos(x) - 5x \) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente à derivada que encontramos. No entanto, se considerarmos a simplificação correta, a alternativa que mais se aproxima é a a), mas com um sinal trocado no termo \( 3\sin(x) \). Portanto, a resposta correta não está entre as opções dadas. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se houve algum erro na formulação da pergunta.