Questão: Qual é o valor da integral definida de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 no intervalo [1, 3]? a) 77 b) 63 c) 49 d) 35

Para calcular o valor da integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo \([1, 3]\): \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] - Calculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(3^4) + (3^3) - 2(3^2) + 3 = \frac{1}{2}(81) + 27 - 18 + 3 = 40.5 + 27 - 18 + 3 = 52.5 \] - Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1^4) + (1^3) - 2(1^2) + 1 = \frac{1}{2}(1) + 1 - 2 + 1 = 0.5 + 1 - 2 + 1 = 0.5 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 52.5 - 0.5 = 52 \] Parece que houve um erro nos cálculos, pois o resultado não está entre as opções. Vamos revisar: - Recalculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(81) + 27 - 18 + 3 = 40.5 + 27 - 18 + 3 = 52.5 \] - Recalculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1) + 1 - 2 + 1 = 0.5 + 1 - 2 + 1 = 0.5 \] - Portanto, a integral é: \[ 52.5 - 0.5 = 52 \] Parece que houve um erro na interpretação das opções. Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!