Para encontrar o resultado da integração da função \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \) em relação a \( x \), precisamos integrar cada termo da função separadamente. 1. A integral de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). 2. A integral de \( 5x^2 \) é \( \frac{5}{3}x^3 \). 3. A integral de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). 4. A integral de \( 1 \) é \( x \). Assim, somando todas as integrais, temos: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \) - Incorreta, o coeficiente de \( x^4 \) está errado. b) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 + C \) - Incorreta, o coeficiente de \( x^4 \) está errado e o termo constante também. c) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x + C \) - Incorreta, o coeficiente de \( x^4 \) está errado e o termo de \( x \) também. d) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 5x + C \) - Incorreta, o coeficiente de \( x^4 \) está errado e o termo de \( x \) também. Nenhuma das alternativas está correta. Você precisa revisar as opções ou a questão.