Para calcular o comprimento da curva dada pela integral \(\int_{1}^{2} \sqrt{1 + (2x)^2}dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da raiz. A integral se torna: \[ \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 4x^2}dx \] Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais. A integral \(\int \sqrt{a^2 + x^2}dx\) tem uma forma conhecida, mas aqui vamos focar na avaliação direta. Após resolver a integral, encontramos que o resultado é: \[ 2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5}) \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5})\) b) \(2\sqrt{5} + \ln(2+\sqrt{5})\) c) \(\frac{1}{2}(\sqrt{5} + \ln(2+\sqrt{5}))\) d) \(\frac{1}{2}(\sqrt{5} + \ln(3+\sqrt{5}))\) A alternativa correta é: b) \(2\sqrt{5} + \ln(2+\sqrt{5})\).