pratica 94QRI

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Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 4 
b) f'(x) = 6x - 4 
c) f'(x) = 3x + 2 
d) f'(x) = 6x + 1 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 5, devemos aplicar a 
regra da potência, que consiste em multiplicar o expoente pelo coeficiente e diminuir 1 do 
expoente. Portanto, a derivada de 3x^2 é 6x e a derivada de 4x é 4. Como a derivada de uma 
constante é zero, a derivada de -5 é zero. Com isso, a derivada de f(x) é f'(x) = 6x + 4. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x} \) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
b) \( \frac{1}{x^2} \) 
c) \( \frac{-1}{x} \) 
d) \( \frac{1}{x} \) 
 
Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x} \), usamos a regra do 
quociente. A derivada de \( \frac{1}{x} \) é dada por \( \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = \frac{-
1}{x^2} \). Portanto, a resposta correta é a alternativa a). 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida de x^2 + 2x + 1 de 0 a 1? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Resposta: c) 2 
 
Explicação: Para encontrar o valor da integral definida de x^2 + 2x + 1 de 0 a 1, devemos 
primeiro encontrar a primitiva da função. A integral indefinida de x^2 + 2x + 1 é (1/3)x^3 + 
x^2 + x + C, onde C é uma constante. Em seguida, aplicamos o Teorema Fundamental do 
Cálculo para encontrar a integral definida de 0 a 1: 
 
[(1/3)*1^3 + 1^2 + 1] - [(1/3)*0^3 + 0^2 + 0] = (1/3) + 1 + 1 = 2 
 
Portanto, o valor da integral definida é 2. 
 
Questão: Qual é o comprimento da curva \(\int_{1}^{2} \sqrt{1 + (2x)^2}dx\)? 
 
Alternativas: 
a) \(\sqrt{5} + \frac{1}{2}ln(2+\sqrt{5})\) 
b) \(2\sqrt{5} + ln(2+\sqrt{5})\) 
c) \(\frac{1}{2}(\sqrt{5} + ln(2+\sqrt{5}))\) 
d) \(\frac{1}{2}(\sqrt{5} + ln(3+\sqrt{5}))\) 
 
Resposta: a) \(\sqrt{5} + \frac{1}{2}ln(2+\sqrt{5})\) 
 
Explicação: Para encontrar o comprimento de uma curva, utilizamos a fórmula 
\(\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'(x)^2}dx\). Neste caso, a função \(f(x) = 2x\), assim, sua derivada 
será \(f'(x) = 2\). Substituindo na fórmula, temos \(\int_{1}^{2} \sqrt{1 + (2)^2}dx = 
\int_{1}^{2} \sqrt{5}dx\). Integrando, obtemos \(\sqrt{5}x\), que ao avaliar nos limites de 
integração, resulta em \(\sqrt{5} + \frac{1}{2}ln(2+\sqrt{5})\), sendo a resposta correta a 
alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x + 3 
b) f'(x) = x + 3 
c) f'(x) = 2x - 3 
d) f'(x) = x + 2 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x + 3 
 
Explicação: Para encontrar a derivada de uma função, utilizamos a regra da potência, que 
consiste em multiplicar o expoente pelo coeficiente e depois diminuir 1 no expoente. Dessa 
forma, para a função f(x) = x^2 + 3x - 2, a derivada f'(x) será: 
 
f'(x) = d/dx (x^2) + d/dx (3x) - d/dx (2) 
f'(x) = 2x + 3