Para encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos dados, precisamos usar a forma geral de um polinômio de grau 2: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] Temos os pontos: - \( (-1, 4) \) - \( (0, 1) \) - \( (2, -1) \) Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio para formar um sistema de equações. 1. Para o ponto \( (-1, 4) \): \[ 4 = a(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 4 = a - b + c \] (Equação 1) 2. Para o ponto \( (0, 1) \): \[ 1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ 1 = c \] (Equação 2) 3. Para o ponto \( (2, -1) \): \[ -1 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ -1 = 4a + 2b + c \] (Equação 3) Agora, substituímos \( c = 1 \) da Equação 2 nas Equações 1 e 3: Substituindo na Equação 1: \[ 4 = a - b + 1 \] \[ 3 = a - b \] (Equação 4) Substituindo na Equação 3: \[ -1 = 4a + 2b + 1 \] \[ -2 = 4a + 2b \] \[ -1 = 2a + b \] (Equação 5) Agora temos um sistema de duas equações (Equação 4 e Equação 5): 1. \( 3 = a - b \) (Equação 4) 2. \( -1 = 2a + b \) (Equação 5) Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos expressar \( b \): \[ b = a - 3 \] Substituindo na Equação 5: \[ -1 = 2a + (a - 3) \] \[ -1 = 3a - 3 \] \[ 2 = 3a \] \[ a = \frac{2}{3} \] Agora, substituímos \( a \) de volta na Equação 4 para encontrar \( b \): \[ 3 = \frac{2}{3} - b \] \[ b = \frac{2}{3} - 3 \] \[ b = \frac{2}{3} - \frac{9}{3} \] \[ b = -\frac{7}{3} \] Portanto, temos: - \( a = \frac{2}{3} \) - \( b = -\frac{7}{3} \) - \( c = 1 \) Assim, o polinômio interpolador é: \[ P(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{7}{3}x + 1 \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) \( \frac{2}{3} x^2 - \frac{7}{5} x + 2 \) (não é a correta) b) \( \frac{2}{3} x^2 - \frac{7}{3} x + 1 \) (é a correta) c) \( \frac{1}{3} x^2 - \frac{7}{5} x + 1 \) (não é a correta) d) \( \frac{2}{3} x^2 - \frac{4}{5} x + 1 \) (não é a correta) e) \( \frac{2}{3} x^2 - \frac{7}{5} x + 3 \) (não é a correta) Portanto, a alternativa correta é: b) \( \frac{2}{3} x^2 - \frac{7}{3} x + 1 \).