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Geometria Analítica

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Seja G um grupo abeliano e H um subgrupo de G. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas e marque a sequência correta. H é um grupo abeliano com a operação de G. O elemento neutro de H é igual ao elemento neutro de G. O quociente G⁄H é um grupo chamado grupo quociente.

A) V,V,F.
B) F,V,V.
C) V,V,V.
D) F,V,F.
E) F,F,F.
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há 10 meses

Vamos analisar cada uma das afirmações sobre o subgrupo \( H \) de um grupo abeliano \( G \): 1. H é um grupo abeliano com a operação de G. Isso é verdadeiro (V). Um subgrupo de um grupo abeliano herda a propriedade de ser abeliano, pois a operação em \( H \) é a mesma que em \( G \). 2. O elemento neutro de H é igual ao elemento neutro de G. Isso também é verdadeiro (V). O elemento neutro de um subgrupo é o mesmo que o elemento neutro do grupo do qual ele é subgrupo. 3. O quociente G⁄H é um grupo chamado grupo quociente. Isso é falso (F). O quociente \( G/H \) é um grupo apenas se \( H \) for um subgrupo normal de \( G \). Embora todo grupo abeliano tenha subgrupos normais, a afirmação não é universalmente verdadeira para todos os grupos. Portanto, a sequência correta é: V, V, F. A alternativa que apresenta essa sequência é: A) V, V, F.

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Seja (G,*) um grupo e H e K dois subgrupos de G. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas e marque a sequência correta. ( ) A operação de G nos elementos de H∩K não satisfaz a associatividade. ( ) A operação de G nos elementos de H∩K não possui elemento neutro. ( ) H∩K é um subgrupo de G.

A) V,V,F.
B) F,F,V.
C) V,F,F.
D) F,F,F.
E) V,V,V.

Considere o grupo G={0,1,2,3,4,5} com a operação # dada por x # y = resto da divisão de x+y por 6. Assinale a alternativa correta.

A) {1,2,3} é um subgrupo de G.
B) {0,2,3,4,5} é um subgrupo de G.
C) {0,3,4} é um subgrupo de G.
D) {0,2,4} é um subgrupo de G.
E) {0} não é um subgrupo de G.

Considere o grupo (Z_9,+ ). Assinale a alternativa correta.

A) ⟨4⟩={0,4,8}
B) ⟨7⟩=Z_9
C) ⟨6⟩={0,6}
D) ⟨3⟩={3,6}
E) ⟨2⟩={0,2,4}

O conjunto X={e,a,b,c} com a operação em X dada pela tabela abaixo é um grupo. Assinale a alternativa correta.

A) X não é um grupo abeliano.
B) e é o elemento neutro de X.
C) b é inversível e o inverso de b é o elemento c.
D) a é inversível e o inverso de a é o elemento b.
E) c é inversível e o inverso de c é o elemento b.

Considere os conjuntos (Q+,⋅ ) e (Q+,+). Assinale a alternativa correta.

A) (Q+,⋅) não é grupo pois os elementos não possuem inverso.
B) (Q+,⋅) é um subgrupo de (Q,⋅).
C) (Q+,⋅ ) não é um grupo pois a operação não possui elemento neutro.
D) (Q+,+) não é um grupo pois a operação não é associativa;
E) (Q+,⋅) e (Q+,+) são grupos.

(ENADE 2005) Se G é um grupo multiplicativo de ordem n e H é um subgrupo de G de ordem m, então:

A) H tem um gerador de ordem m.
B) mdc(m,n)=1.
C) O grupo quociente G/H é abeliano.
D) O índice de G em H é igual a mn.
E) m é divisor de n.

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