Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 + x^4)^{3} \, dx \), podemos usar a expansão do binômio de Newton. A expressão \( (1 + x^4)^{3} \) pode ser expandida como: \[ (1 + x^4)^{3} = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (1)^{3-k} (x^4)^{k} = 1 + 3x^4 + 3x^8 + x^{12} \] Agora, podemos integrar cada termo separadamente: \[ \int_0^1 (1 + 3x^4 + 3x^8 + x^{12}) \, dx = \int_0^1 1 \, dx + 3 \int_0^1 x^4 \, dx + 3 \int_0^1 x^8 \, dx + \int_0^1 x^{12} \, dx \] Calculando cada integral: 1. \( \int_0^1 1 \, dx = 1 \) 2. \( \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{5} \) 3. \( \int_0^1 x^8 \, dx = \frac{1}{9} \) 4. \( \int_0^1 x^{12} \, dx = \frac{1}{13} \) Substituindo os valores: \[ = 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{13} \] Calculando: \[ = 1 + \frac{3}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{13} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 5, 3 e 13 é 195. Convertendo cada fração: 1. \( 1 = \frac{195}{195} \) 2. \( \frac{3}{5} = \frac{117}{195} \) 3. \( \frac{1}{3} = \frac{65}{195} \) 4. \( \frac{1}{13} = \frac{15}{195} \) Somando tudo: \[ \frac{195 + 117 + 65 + 15}{195} = \frac{392}{195} \] Portanto, o resultado da integral \( \int_0^1 (1 + x^4)^{3} \, dx \) é \( \frac{392}{195} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão completas ou se há um erro na formulação da pergunta.