Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 + x^2)^{4} \, dx \), podemos usar a substituição ou expandir a expressão. Vamos expandir \( (1 + x^2)^{4} \) usando o binômio de Newton: \[ (1 + x^2)^{4} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (1)^{4-k} (x^2)^{k} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{2k} \] Isso resulta em: \[ 1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8 \] Agora, integramos cada termo de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 (1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8) \, dx = \left[ x + \frac{4}{3}x^3 + \frac{6}{5}x^5 + \frac{4}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 \right]_0^1 \] Calculando os limites: \[ = 1 + \frac{4}{3} + \frac{6}{5} + \frac{4}{7} + \frac{1}{9} \] Agora, precisamos somar essas frações. Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é 315: \[ 1 = \frac{315}{315}, \quad \frac{4}{3} = \frac{420}{315}, \quad \frac{6}{5} = \frac{378}{315}, \quad \frac{4}{7} = \frac{180}{315}, \quad \frac{1}{9} = \frac{35}{315} \] Somando tudo: \[ \frac{315 + 420 + 378 + 180 + 35}{315} = \frac{1328}{315} \] Agora, precisamos simplificar essa fração. O resultado não se encaixa nas opções dadas, então vamos verificar se há um erro nas opções ou no cálculo. Após revisar, parece que a integral não resulta em uma das opções apresentadas. Portanto, você pode precisar verificar as opções ou o enunciado da questão. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!