Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{9} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^3 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -3x^2 \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{3x^2} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A substituição de \( x \) em termos de \( u \) é \( x = (1 - u)^{1/3} \), então \( x^2 = (1 - u)^{2/3} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_1^0 u^9 \left(-\frac{du}{3(1-u)^{2/3}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 u^9 (1-u)^{-2/3} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da função beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] onde \( B(10, \frac{1}{3}) = \frac{\Gamma(10) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(10 + \frac{1}{3})} \). Calculando, obtemos: \[ \int_0^1 u^9 (1-u)^{-2/3} \, du = B(10, \frac{1}{3}) = \frac{\Gamma(10) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(10 + \frac{1}{3})} \] Assim, a integral original se torna: \[ \frac{1}{3} B(10, \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\Gamma(10) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(10 + \frac{1}{3})} \] Após calcular, encontramos que o valor da integral é \( \frac{1}{11} \). Portanto, a alternativa correta é: b) \( \frac{1}{11} \).