Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 + x^6)^{3} \, dx \), podemos usar a expansão do binômio de Newton. A expressão \( (1 + x^6)^{3} \) pode ser expandida como: \[ (1 + x^6)^{3} = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (1)^{3-k} (x^6)^{k} = 1 + 3x^6 + 3x^{12} + x^{18} \] Agora, podemos integrar cada termo separadamente: \[ \int_0^1 (1 + 3x^6 + 3x^{12} + x^{18}) \, dx = \int_0^1 1 \, dx + 3 \int_0^1 x^6 \, dx + 3 \int_0^1 x^{12} \, dx + \int_0^1 x^{18} \, dx \] Calculando cada integral: 1. \( \int_0^1 1 \, dx = 1 \) 2. \( \int_0^1 x^6 \, dx = \frac{1}{7} \) 3. \( \int_0^1 x^{12} \, dx = \frac{1}{13} \) 4. \( \int_0^1 x^{18} \, dx = \frac{1}{19} \) Substituindo os valores: \[ = 1 + 3 \cdot \frac{1}{7} + 3 \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{19} \] Calculando: \[ = 1 + \frac{3}{7} + \frac{3}{13} + \frac{1}{19} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 7, 13 e 19 é 1729. Convertendo cada fração: - \( 1 = \frac{1729}{1729} \) - \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 247}{1729} = \frac{741}{1729} \) - \( \frac{3}{13} = \frac{3 \cdot 133}{1729} = \frac{399}{1729} \) - \( \frac{1}{19} = \frac{1 \cdot 91}{1729} = \frac{91}{1729} \) Somando tudo: \[ \frac{1729 + 741 + 399 + 91}{1729} = \frac{2960}{1729} \] Agora, precisamos simplificar essa fração, mas como as opções são limitadas, vamos verificar se alguma delas se aproxima do resultado. Após calcular, percebemos que a integral não se encaixa exatamente nas opções dadas. No entanto, se você precisar de um valor aproximado ou se houver um erro nas opções, você pode verificar novamente. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!