Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{8} \, dx \)? a) \( \frac{1}{9} \) b) \( \frac{1}{10} \) c) \( \frac{1}{11} \) d) \( \frac{1}{12} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{8} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^3 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -3x^2 \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{3x^2} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^8 \left(-\frac{du}{3(1-u)^{\frac{2}{3}}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 u^8 (1-u)^{-\frac{2}{3}} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta: \[ B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \] onde \( a = 9 \) e \( b = \frac{1}{3} \). Assim, temos: \[ B(9, \frac{1}{3}) = \frac{\Gamma(9) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(9 + \frac{1}{3})} \] Sabendo que \( \Gamma(9) = 8! = 40320 \) e usando a relação da função gama, podemos calcular o valor. Por fim, após os cálculos, o resultado da integral é: \[ \int_0^1 (1 - x^3)^{8} \, dx = \frac{1}{9} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{9} \).