Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{6} \, dx \)? a) \( \frac{1}{7} \) b) \( \frac{1}{8} \) c) \( \frac{1}{9} \) d) \( \frac{1}{10} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{6} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^4 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -4x^3 \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{4x^3} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A substituição de \( x^3 \) em termos de \( u \) é \( x^3 = (1 - u)^{3/4} \). A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^6 \left(-\frac{du}{4(1-u)^{3/4}}\right) = \frac{1}{4} \int_0^1 u^6 (1-u)^{-3/4} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta: \[ B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \] onde \( a = 7 \) e \( b = \frac{1}{4} \). Assim, temos: \[ B(7, \frac{1}{4}) = \frac{\Gamma(7) \Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(7 + \frac{1}{4})} \] Sabendo que \( \Gamma(7) = 6! = 720 \) e usando a propriedade da função gama, podemos calcular a integral. Após os cálculos, o resultado da integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{6} \, dx \) resulta em \( \frac{1}{7} \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{7} \).