Para resolver a equação diferencial \( y'' + 9y = 0 \), primeiro identificamos que esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma característica da equação é: \[ r^2 + 9 = 0 \] Resolvendo essa equação, obtemos: \[ r^2 = -9 \implies r = \pm 3i \] As raízes são complexas, o que nos leva a uma solução geral da forma: \[ y = A \cos(3x) + B \sin(3x) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = A \cos(3x) + B \sin(3x) \) - Esta é a solução correta. B) \( y = Ae^{3x} + Be^{-3x} \) - Esta forma é para equações com raízes reais. C) \( y = A \cos(9x) + B \sin(9x) \) - Aqui, a frequência está errada. D) \( y = A e^{9x} + B e^{-9x} \) - Novamente, esta forma é para raízes reais. Portanto, a alternativa correta é: A) \( y = A \cos(3x) + B \sin(3x) \).