Resolva a equação y'' + 7y' + 10y = 0. A) y = Ae^{-2x} + Be^{-5x} B) y = Ae^{-5x} + Be^{-2x} C) y = Ae^{-x} + Be^{10x} D) y = Ae^{x} + Be^{-x}

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 7y' + 10y = 0 \), precisamos encontrar as raízes da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 + 7r + 10 = 0 \] Utilizando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 7 \) e \( c = 10 \): \[ r = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \] \[ r = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ r = \frac{-7 \pm 3}{2} \] Isso nos dá as raízes: 1. \( r_1 = \frac{-4}{2} = -2 \) 2. \( r_2 = \frac{-10}{2} = -5 \) Assim, as soluções gerais da equação diferencial são da forma: \[ y = Ae^{-2x} + Be^{-5x} \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-5x} \)