Em uma competição, 4 jogadores têm 3 chances de ganhar. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 jogadores ganhem? a) 0,25 b) 0,5 c) 0,375 d) 0,125

Para resolver essa questão, precisamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 4 jogadores), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 2 jogadores ganhando), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. Assumindo que cada jogador tem a mesma probabilidade de ganhar, e que a probabilidade de um jogador ganhar em uma única tentativa é \( p = \frac{1}{3} \) (já que são 3 chances), a probabilidade de um jogador não ganhar é \( 1 - p = \frac{2}{3} \). Agora, aplicando os valores: - \( n = 4 \) - \( k = 2 \) - \( p = \frac{1}{3} \) Calculamos o coeficiente binomial: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Agora, substituímos na fórmula: \[ P(X = 2) = 6 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \] \[ P(X = 2) = 6 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[ P(X = 2) = 6 \left(\frac{1}{9}\right) \left(\frac{4}{9}\right) \] \[ P(X = 2) = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \approx 0,296 \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a esse valor, mas a mais próxima é a opção c) 0,375. Portanto, a resposta correta é c) 0,375.