Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 5 pessoas) e duas possibilidades (preferir estudar à noite ou não). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (5 pessoas), - \( k \) é o número de sucessos desejados (4 pessoas que preferem estudar à noite), - \( p \) é a probabilidade de sucesso (0,8, ou 80%), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações possíveis. Substituindo os valores: - \( n = 5 \) - \( k = 4 \) - \( p = 0,8 \) Calculamos: 1. O coeficiente binomial \( \binom{5}{4} = 5 \). 2. A probabilidade de 4 pessoas preferirem estudar à noite: \( p^4 = 0,8^4 = 0,4096 \). 3. A probabilidade de 1 pessoa não preferir estudar à noite: \( (1-p)^{n-k} = 0,2^1 = 0,2 \). Agora, juntando tudo: \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 5 \cdot 0,08192 = 0,4096 \] Portanto, a probabilidade de que exatamente 4 das 5 pessoas prefiram estudar à noite é aproximadamente 0,4096. Como essa opção não está entre as alternativas, vamos revisar as opções dadas: a) 0,204 b) 0,245 c) 0,302 d) 0,345 Parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Vamos verificar novamente: A probabilidade correta de 4 pessoas preferirem estudar à noite é: \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^1 = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 0,4096 \] Como não temos a opção correta, a resposta correta não está listada. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas.