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Em uma sala, 60% dos alunos são do sexo masculino. Se 5 alunos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 sejam homens?

A) 0.832
B) 0.678
C) 0.756
D) 0.512
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Desafios para Aprender

há 11 meses

Respostas

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há 11 meses

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, já que estamos lidando com um número fixo de tentativas (5 alunos) e duas categorias (homens e mulheres). A probabilidade de um aluno ser homem é \( p = 0,6 \) e a probabilidade de ser mulher é \( q = 1 - p = 0,4 \). Queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 3 dos 5 alunos escolhidos sejam homens. Isso significa que precisamos calcular a probabilidade de 3, 4 e 5 homens. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (5), - \( k \) é o número de sucessos (neste caso, homens), - \( p \) é a probabilidade de sucesso (0,6), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial. Vamos calcular: 1. Para \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,6)^3 (0,4)^2 = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16 = 0,3456 \] 2. Para \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0,6)^4 (0,4)^1 = 5 \cdot 0,1296 \cdot 0,4 = 0,2592 \] 3. Para \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0,6)^5 (0,4)^0 = 1 \cdot 0,07776 \cdot 1 = 0,07776 \] Agora, somamos as probabilidades para \( k = 3, 4 \) e \( 5 \): \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256 \] Aproximando, temos que a probabilidade de que pelo menos 3 alunos sejam homens é aproximadamente \( 0,68256 \). Analisando as alternativas: A) 0.832 B) 0.678 C) 0.756 D) 0.512 A alternativa que mais se aproxima do resultado calculado é a B) 0.678.

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