Para resolver a integral \(\int x^4 e^{x^2} \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Como \(x^2 = u\), temos \(x = \sqrt{u}\) e \(x^4 = u^2\). Substituindo na integral, temos: \[ \int x^4 e^{x^2} \, dx = \int u^2 e^u \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^2 e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \(\int u^2 e^u \, du\). Podemos usar a integração por partes, onde escolhemos: - \(dv = e^u \, du\) e \(v = e^u\) - \(u = u^2\) e \(du = 2u \, du\) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - \int 2u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \(\int 2u e^u \, du\) novamente usando integração por partes. Repetindo o processo, obtemos: \[ \int 2u e^u \, du = 2u e^u - 2e^u \] Substituindo de volta, temos: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - (2u e^u - 2e^u) = u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \] Agora, substituímos \(u = x^2\) de volta: \[ \int x^4 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x^4 e^{x^2} - 2x^2 e^{x^2} + 2e^{x^2} \right) + C \] Simplificando, obtemos: \[ \int x^4 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^4 - 2x^2 + 2) + C \] Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder exatamente ao resultado, mas se considerarmos apenas a parte que envolve \(e^{x^2}\), a alternativa que mais se aproxima é a que contém \(e^{x^2}\) multiplicado por uma constante. Entretanto, como não temos uma alternativa que corresponda diretamente ao resultado, não posso fornecer uma resposta correta entre as opções dadas. Você pode precisar revisar as alternativas ou verificar se a integral foi formulada corretamente.