Para determinar a série de Fourier da função \( f(x) = x \) no intervalo \((-π, π)\), precisamos lembrar que essa função é ímpar. Portanto, a série de Fourier será composta apenas por termos senoidais (não haverá termos cosenoidais). A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) \] onde \( b_n \) é dado por: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] Para a função \( f(x) = x \), o cálculo de \( b_n \) resulta em: \[ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \] Assim, a série de Fourier para \( f(x) = x \) se torna: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \] Portanto, a série de Fourier pode ser expressa como: \[ f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \sin(nx) \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)\) - Esta é a correta. B) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n^2}\sin(nx)\) - Incorreta. C) \(-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin(nx)\) - Incorreta. D) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \(\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)\).