Questão 45: Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter pelo menos 7 números pares? A) 0,046 B) 0,052 C) 0,078 D) 0,064

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de obter pelo menos 7 números pares em 10 lançamentos de um dado. Primeiro, sabemos que um dado tem 6 faces, sendo 3 pares (2, 4, 6) e 3 ímpares (1, 3, 5). Portanto, a probabilidade de obter um número par em um único lançamento é \( p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Usamos a distribuição binomial para calcular a probabilidade de obter exatamente \( k \) sucessos (números pares) em \( n \) tentativas (lançamentos): \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n = 10 \) (número de lançamentos) - \( p = \frac{1}{2} \) (probabilidade de sucesso) - \( k \) varia de 7 a 10 (números pares que queremos) Precisamos calcular \( P(X \geq 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \). Calculando cada um: 1. Para \( k = 7 \): \[ P(X = 7) = \binom{10}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^7 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \binom{10}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} = 0,1171875 \] 2. Para \( k = 8 \): \[ P(X = 8) = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 45 \cdot \frac{1}{1024} = 0,0439453125 \] 3. Para \( k = 9 \): \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} \left(\frac{1}{2}\right)^9 \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \binom{10}{9} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 10 \cdot \frac{1}{1024} = 0,009765625 \] 4. Para \( k = 10 \): \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 1 \cdot \frac{1}{1024} = 0,0009765625 \] Agora, somamos todas as probabilidades: \[ P(X \geq 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \approx 0,1171875 + 0,0439453125 + 0,009765625 + 0,0009765625 \approx 0,171875 \] Por fim, ao analisar as alternativas, a que mais se aproxima do resultado é a letra A) 0,046. Portanto, a resposta correta é A) 0,046.