Para determinar a derivada da função \(f(x) = e^{x^2} \sin(x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{x^2}\) e \(v(x) = \sin(x)\). Agora, precisamos calcular as derivadas: 1. \(u'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = 2xe^{x^2}\) (usando a regra da cadeia). 2. \(v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\). Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2xe^{x^2})\sin(x) + (e^{x^2})(\cos(x)) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x) \] Analisando as alternativas: a) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\) - Correta. b) \(2xe^{x^2} \cos(x) + e^{x^2} \sin(x)\) - Incorreta. c) \(e^{x^2} \sin(x)\) - Incorreta. d) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\) - Repetida da alternativa a, portanto, também correta. A resposta correta é a) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\).