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Determine a derivada de \(f(x) = x^5 \ln(x)\). a) 5x^4 \ln(x) + x^4 b) 5x^4 \ln(x) + 5x^4 c) 5x^4 \ln(x) + 4x^4 d) 5x^4 \ln(x) + x^5

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Para determinar a derivada da função \(f(x) = x^5 \ln(x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = x^5\) e \(v(x) = \ln(x)\). Calculando as derivadas: - \(u'(x) = 5x^4\) - \(v'(x) = \frac{1}{x}\) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (5x^4)(\ln(x)) + (x^5)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 5x^4 \ln(x) + x^4 \] Portanto, a derivada de \(f(x) = x^5 \ln(x)\) é: \[ f'(x) = 5x^4 \ln(x) + x^4 \] Assim, a alternativa correta é a) 5x^4 \ln(x) + x^4.

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