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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Rafael Alves Figueiredo
Assunto: Interpolação Polinomial
Autor: Prof. Dr. Alessandro Alves Santana
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Considere a função f(x) dada pela tabela:
x 0 1 2 3
f(x) 0 0 0 0
e o polinômio dado por p(x) = x(x− 1)(x− 2)(x− 3).
(a) Verifique que p(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, . . . , 3.
(b) O polinômio p(x) é o polinômio que interpola f(x) sobre os pontos 0, 1, 2 e 3? Justifique
sua resposta.
2. Considere uma tabela com n + 1 valores que uma função f(x) assume em (n + 1) pontos dis-
tintos, isto é, (xk, f(xk)), com k = 0, 1, 2, . . . , n. No caso da interpolação polinomial, o polinômio
que interpola essa função nesses n+ 1 pontos tem grau no máximo n e por definição de inter-
polação polinomial vale que pn(xk) = f(xk) para k = 0, 1, 2, . . . , n. Se agregarmos ao problema de
interpolação as derivadas que f(x) assume nesses (n+1) pontos e impusermos que o polinômio
interpolador tenha o mesmo valor que a derivada de f(x), o polinômio interpolador terá grau
no máximo 2n+ 1. Assim sendo, usando esse conceito, considere a tabela
x -1 1
f(x) -e−1 e−1
f ′(x) -e−1 -e−1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função f(x) dada na tabela? Justifique
sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função f(x) dada na tabela lembrando que o valores
que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
3. Mostre que a interpolação de um polinômio de grau n sobre n+ k pontos, k ≥ 1, é exata.
4. Considere a tabela
x 0.00 0.44 0.58 0.84 1.31 1.74 2.00
f(x) 5.00 3.93 3.24 1.76 -0.82 -2.79 -3.91
e responda aos itens a seguir:
(a) Sabendo que a função tabela tem uma única raiz no intervalo [0, 2], usando os dados
da tabela, obtenha uma aproximação para essa raiz via interpolação linear e quadrática.
Trabalhe com 3 casas decimais.
(b) Usando interpolação inversa, obtenha uma aproximação para essa raiz usando um po-
linômio de grau 2. Trabalhe com 3 casas decimais.
5. Sabendo que a única raiz positiva da equação 4 cos(x) − ex = 0 se encontra no intervalo [0, 1],
determine uma aproximação para essa raiz:
(a) Usando um polinômio de grau 2 considerando os pontos igualmente espaçados. Trabalhe
com 4 casas decimais.
(b) Usando interpolação inversa sobre 3 pontos. Utilize a tabela montada para resolver o item
anterior para fazer essa interpolação. Trabalhe com 4 casas decimais.
6. Considere a tabela
x 0.00 0.44 0.58 0.84 1.31 1.74 2.00
f(x) 8.00 6.93 6.24 4.76 2.18 0.21 0.91
e responda aos itens a seguir:
(a) Obtenha uma aproximação para derivada de f(x) em x = 0.6 utilizando um polinômio
interpolador de grau 2. Utilize a Forma de Newton e trabalhe com 3 casas decimais.
(b) Obtenha uma aproximação para derivada segunda de f(x) em x = 0.9 utilizando um po-
linômio interpolador de grau 2. Utilize a Forma de Lagrange e trabalhe com 3 casas
decimais.
7. Deseja-se obter xe−x
2
, para x ∈ [0, 2], com três casas decimais corretas, através de interpolação
linear usando uma tabela de pontos igualmente espaçados com tamanho h. Quantos valores
deve ter essa tabela?
8. A função distribuição acumulada é definida por
f(x) =
x∫
−∞
1√
2π
e−
x2
2 dx
Para x ∈ (0, 1), as derivadas de f(x) são limitadas como segue:
0 < f (2)(x) < 0.4,
0 < f (3)(x) < 0.5,
0.4 < f (4)(x) < 1.2.
Se f(x) é dada com quatro casas decimais para x = 0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9, 1, qual o grau mínimo que
deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de
f(x) para x ∈ (0, 1)? Justifique sua resposta.
9. Suspeita-se que a tabela
x -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.00
f(x) -9.0 0.0 1.0 0.0 3.0 16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
10. Suspeita-se que a tabela
x -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.00
f(x) -9.0 0.0 1.0 0.0 3.0 16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
11. Considere os pontos igualmente espaçados xi, i = 0, 1, . . . , 4, xi = x0 + ih, i = 0, 1, . . . , 4. As
diferenças divididas de primeira ordem de uma função f(x) sobre estes pontos, dadas por:
f [x0, x1] = β, f [x1, x2] = β + 2h, f [x2, x3] = β + 4h e f [x3, x4] = β + 6h, sendo β 6= 0. Qual o grau do
polinômio interpolador? Por quê ?
12. As densidades ρ da água para várias temperaturas T são dadas na tabela a seguir.
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
ρ(T ) 0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule ρ(17) e ρ(28) usando polinômios de grau 2 e 3. Trabalhe com 4 casas decimais.
13. A tabela
IDADE (anos)
PESO (kg) 25 45 65
50 2500 2350 1900
60 2850 2700 2250
70 3200 3000 2750
80 3550 3350 2850
relaciona a quantidade ideal de calorias em função da idade e do peso para homens que
realizam atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente de 20 graus Celsius.
(a) Utilizando a Forma de Lagrange é possível obter um polinômio de grau 1 em duas variáveis
x e y para aproximar uma função f(x, y) em um domínio [a, b] × [c, d]. Nesse caso, temos
então que f(x, y) ≈ p(x, y), sendo p(x, y) o polinômio aproximador de f(x, y). Assim sendo,
obtenha a expressão desse polinômio interpolador.
(b) Utilizando o polinômio interpolador obtido no item anterior, obtenha uma aproximação
para a quantidade de calorias para um homem:
i. de 35 anos e 62 quilos;
ii. de 50 anos e 78 quilos.
Trabalhe com 3 casas decimais.
14. A economia e de um carro em (km/l) varia com a velocidade v. Em um experimento, são feitas
as cinco medições a seguir:
v (km/h) 16 40 64 88 112
e (km/l) 4.2 9.2 10 10.7 8.6
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio
para calcular a economia de combustível a 104 km/h.