Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). A) 0 B) 1 C) 5 D) 10

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). Neste caso, vamos fazer a substituição \( u = 5x \). Assim, quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u/5} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \] Sabendo que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \cdot 1 = 5 \] Portanto, a resposta correta é: C) 5.