Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a função \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 2 \): 1. I. A função f admite apenas valor máximo. - Para verificar isso, precisamos encontrar os pontos críticos e analisar a concavidade. A função é um polinômio de grau 3, que geralmente tem um comportamento de "cima para baixo" ou "baixo para cima". Portanto, essa afirmação é falsa, pois uma função cúbica pode ter tanto máximos quanto mínimos. 2. II. Os pontos críticos de f são x = 0 e x = 2. - Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada \( f'(x) \) e igualá-la a zero. A derivada é: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x \] Igualando a zero: \[ 3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x + 2) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = -2 \), não \( x = 2 \). Assim, essa afirmação é falsa. 3. III. A função f admite um valor mínimo quando x = 0. - Para determinar se \( x = 0 \) é um mínimo, precisamos analisar a segunda derivada: \[ f''(x) = 6x + 6 \] Avaliando em \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0 \] Isso indica que \( x = 0 \) é um ponto de mínimo. Portanto, essa afirmação é verdadeira. Com base nas análises: - A afirmação I é falsa. - A afirmação II é falsa. - A afirmação III é verdadeira. Assim, a única afirmação correta é a III. Portanto, a alternativa correta é: III.