Se um aluno faz 5 provas e tem 80% de chance de passar, qual é a probabilidade de ele passar em pelo menos 3? a) 0.326 b) 0.489 c) 0.601 d) 0.409

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, onde temos: - \( n = 5 \) (número de provas) - \( p = 0.8 \) (probabilidade de passar em uma prova) - \( k \) (número de provas que o aluno passa) Queremos calcular a probabilidade de passar em pelo menos 3 provas, ou seja, \( P(X \geq 3) \). Isso pode ser calculado como: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \] A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Vamos calcular cada um: 1. Para \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.8)^3 (0.2)^2 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048 \] 2. Para \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096 \] 3. Para \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.8)^5 (0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768 \] Agora, somamos as probabilidades: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.2048 + 0.4096 + 0.32768 \approx 0.94208 \] No entanto, como estamos buscando a probabilidade de passar em pelo menos 3 provas, precisamos considerar que a soma das probabilidades deve ser feita corretamente. Após revisar as opções, parece que houve um erro na soma. Vamos calcular novamente: \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \] Calculando \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) e \( P(X = 2) \): 1. Para \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.8)^0 (0.2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = \binom{5}{1} (0.8)^1 (0.2)^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064 \] 3. Para \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.8)^2 (0.2)^3 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512 \] Agora somamos: \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.00032 + 0.0064 + 0.0512 \approx 0.05792 \] Portanto: \[ P(X \geq 3) = 1 - 0.05792 \approx 0.94208 \] Parece que houve um erro nas opções apresentadas. A resposta correta não está entre as opções dadas. Por favor, verifique se as opções estão corretas ou se há algum erro na formulação da pergunta.