Problema 42: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x}\). a) 5 b) 1 c) 0 d) -5

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, que é aplicada quando temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). 1. Primeiro, verificamos que ao substituir \(x = 0\), temos \(e^{5 \cdot 0} - 1 = 0\) e \(0\) no denominador, resultando em \(\frac{0}{0}\). 2. Aplicamos a regra de L'Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador: - Derivada do numerador \(e^{5x} - 1\) é \(5e^{5x}\). - Derivada do denominador \(x\) é \(1\). 3. Agora, reescrevemos o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{5e^{5x}}{1} \] 4. Substituindo \(x = 0\): \[ 5e^{5 \cdot 0} = 5 \cdot 1 = 5 \] Portanto, o limite é \(5\). A alternativa correta é: a) 5.