Para calcular a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \sin(x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{2x}\) e \(v(x) = \sin(x)\). Calculando as derivadas: - \(u'(x) = 2e^{2x}\) (usando a regra da cadeia). - \(v'(x) = \cos(x)\). Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x})\sin(x) + (e^{2x})(\cos(x)) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \] Analisando as alternativas: a) \(2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\) - Correta. b) \(2e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x)\) - Incorreta. c) \(e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\) - Incorreta. d) \(e^{2x} (2\sin(x) - \cos(x))\) - Incorreta. A alternativa correta é: a) \(2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\).