Problema 34: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). a) 4 b) 1 c) 0 d) -4

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \(u = 4x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 4 = 4 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 4 \cdot 1 = 4. \] Portanto, a resposta correta é a) 4.