Problema 40: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{2}{3}} \, dx\). a) \frac{3}{5} b) \frac{2}{3} c) \frac{4}{5} d) \frac{1}{2}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{2}{3}} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \(du = -3x^2 \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{\frac{2}{3}} \left(-\frac{du}{3x^2}\right) \] Agora, precisamos expressar \(x\) em termos de \(u\). Da substituição \(u = 1 - x^3\), temos \(x = (1 - u)^{\frac{1}{3}}\). Portanto, \(x^2 = (1 - u)^{\frac{2}{3}}\). Substituindo isso na integral, obtemos: \[ \int_1^0 u^{\frac{2}{3}} \left(-\frac{du}{3(1 - u)^{\frac{2}{3}}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{u^{\frac{2}{3}}}{(1 - u)^{\frac{2}{3}}} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta ou a fórmula de integração de potências. O resultado final da integral é: \[ \frac{3}{5} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{3}{5}\).