Para resolver a integral \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A integral pode ser resolvida utilizando a fórmula geral para integrais do tipo \( \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \), que resulta em: \[ \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C \] Neste caso, temos \( a = 2 \) e \( b = 3 \). Portanto, substituindo na fórmula: \[ \int e^{2x} \cos(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{2^2 + 3^2} (2 \cos(3x) + 3 \sin(3x)) + C \] Calculando \( 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \), obtemos: \[ \int e^{2x} \cos(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{13} (2 \cos(3x) + 3 \sin(3x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \cos(3x) + 2 \sin(3x)) + C \) B) \( \frac{e^{2x}}{5} \sin(3x) + C \) C) \( e^{2x} \sin(3x) + C \) D) \( \frac{e^{2x}}{13} (2 \cos(3x) - 3 \sin(3x)) + C \) A alternativa correta, que corresponde à nossa solução, é a A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \cos(3x) + 2 \sin(3x)) + C \).