Se \(\cos(x) = \frac{5}{13}\), qual é o valor de \(\sin(2x)\)? A) \(\frac{12}{13}\) B) \(\frac{24}{65}\) C) \(\frac{60}{65}\) D) \(\frac{60}{169}\)

Para encontrar o valor de \(\sin(2x)\) dado que \(\cos(x) = \frac{5}{13}\), podemos usar a fórmula da duplicação do seno: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Primeiro, precisamos encontrar \(\sin(x)\). Sabemos que: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \(\cos(x)\): \[ \sin^2(x) + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \] Calculando \(\left(\frac{5}{13}\right)^2\): \[ \sin^2(x) + \frac{25}{169} = 1 \] Subtraindo \(\frac{25}{169}\) de ambos os lados: \[ \sin^2(x) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Portanto, \(\sin(x) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\) (considerando o valor positivo, já que não foi especificado). Agora, substituímos \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) na fórmula de \(\sin(2x)\): \[ \sin(2x) = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{120}{169} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{12}{13}\) B) \(\frac{24}{65}\) C) \(\frac{60}{65}\) D) \(\frac{60}{169}\) Nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{120}{169}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Porém, se considerarmos a simplificação de \(\frac{120}{169}\), não temos uma alternativa correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!