Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(2x) \)? a) \( 2\sec^2(2x) \) b) \( \sec^2(2x) \) c) \( 2\tan(2x) \) d) \( \frac{1}{\cos^2(2x)} \)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan(2x) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da tangente é a secante ao quadrado, e precisamos multiplicar pela derivada do argumento \( 2x \). 1. A derivada de \( \tan(u) \) é \( \sec^2(u) \), onde \( u = 2x \). 2. A derivada de \( 2x \) é \( 2 \). Portanto, aplicando a regra da cadeia, temos: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = 2 \sec^2(2x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 2\sec^2(2x) \) - Correta. b) \( \sec^2(2x) \) - Incorreta, falta o fator 2. c) \( 2\tan(2x) \) - Incorreta, não é a derivada. d) \( \frac{1}{\cos^2(2x)} \) - Incorreta, embora seja equivalente a \( \sec^2(2x) \), falta o fator 2. Portanto, a alternativa correta é: a) \( 2\sec^2(2x) \).